数学の問題一覧

${}$　西暦2025年問題第5弾です。今回は覆面算風味の整数問題です。けれども、独特な解き心地があります。単一解であるのを前提にして構いませんので、じっくりと味わってください。

解答形式

${}$　解答は指定の積をそのまま入力してください。
（例）105 → $\color{blue}{105}$

問題文

$p^2-pq-q^2+p+q=0$ を満たす素数の組 $(p,q)$ すべてについて，$p+q$ の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$$[(5√2)+7)^{2011}]を14,49,50でそれぞれ割った余りの合計を求めろ$$
ただし[x]でxの以下の最大の整数とする。
また、順に余りをx,y,zとしたとき0≦x≦13,0≦y≦48,0≦z≦49とする

問題文

非負整数r,sを用いて
$$334r+2025s=m$$の形に表せない正の整数mの個数を求めろ

問題

縦19区画、横28区画のグリッドがある
右折(↑→)と左折(→↑)両方の数の和が10である時
最短経路は何通りあるか？

解答形式

非負整数で答えろ

${}$　西暦2025年問題第4弾です。やや大きめのサイズの規則性の問題をお送りします。根拠まで詰めてほしいところですが、根性の規則性解法でも十分です。どうぞ戯れてやってください。

解答形式

${}$　解答は指定の組数を単位なしでそのまま入力してください。
（例）104組 → $\color{blue}{104}$

問題文

鋭角三角形$ABC$があり垂心を$H$とする．$H$に関して$A$と対称な点を$D$とすると，
$4$点$ABCD$は共円であり$BH＝5，AC＝20$であったので
$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB＝AE，BC＜DE$を満たす円に内接する五角形$ABCDE$がある．
$AC$と$BE$の交点を$F$，$AD$と$BE$の交点を$G$とすると
$BG＝153，EF＝187，FG＝117$が成立した．
直線$CD$と直線$BE$の交点を$P$とするとき$BP$の長さを解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形$ABC$があり垂心を$H$とすると$AH＝7，BH＝CH＝2$であったので
$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB=12，BC＝14，CA＝16$の三角形$ABC$があり$∠A$の内角二等分線と
$BC$の交点を$D$とする．線分$AC$上に$DB＝DE$となる点$E$をとるとき，
$CE$の長さとしてあり得る値の総和を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正方形$ABCD$があり線分$CD$上に$∠DAP＝19°$となるよう点$P$をおき，
$P$から$AC$への垂線の足を$H$とするとき$∠CBH$の大きさを度数法で解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形$ABC$があり$BC$の中点を$M$とし，$B$から$AC$におろした垂線の足を
$D$とする．$AM$と$BD$の交点を$P$とし，半直線$CP$と$AB$の交点を$E$とすると$∠DEP＝∠DMP，
DM＝5，EM＝2$が成立したので
三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．