数学の問題一覧

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D

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
7月前

16

問題文

正五角形 $ABCDE$ があり,その中心を $O$ とします.線分 $BO$ 上に点 $F$ を,線分 $EO$ 上に点 $G$ をとり,三角形 $AFG$ の外接円と線分 $AB,AE$ との交点をそれぞれ点 $P,Q$ とすると,以下が成立しました.

$$\angle{FAG}=54^{\circ} , PB=28 , QE = 30$$

このとき,正五角形 $ABCDE$ の一辺の長さを求めてください.
ただし,正多角形の中心とはその正多角形の外接円の中心のことを表すとします.

解答形式

答えは正整数 $a,b,c$ を用いて $a+\sqrt{b - \sqrt{c}}$ と表されるので,$a+b+c$ を解答してください.

A

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
7月前

36

問題文

$11 \times 11$ の長方形のマスのうちいくつかを次の条件を満たしながら黒色に塗っていきます.

  • 黒色に塗られた任意の $2$ つのマスは辺を共有しない(頂点は共有しても良い).

このとき,黒色に塗ることができるマスの数は最大でいくつですか.

解答形式

正整数で答えて下さい.

B

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
7月前

38

問題文

$-1\leq k \leq 1$ を満たす実数 $k$ において,$10k + 11\sqrt{1-k^2}$ の最大値を $2$ 乗したものを求めてください.

解答形式

正整数で答えて下さい.

C

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
7月前

61

問題文

正整数 $a , b$ の最大公約数を $g(\not=1)$,最小公倍数を $l$ としたとき,以下が成立しました.

$$\dfrac{l - 1}{g - 1} = 100$$

このときの $(a , b)$ の組としてあり得るものを全て求め,$a + b$ の総和を求めてください.

解答形式

正整数で答えて下さい.

整数問題1

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
7月前

23

問題文

正整数 $N$ に対し, $f(N)$ を以下のように定めます.
・ $N$ の正の約数全てに対し, それが $2$ で割り切れる最大の回数の総和

例えば, $f(6) = 2, f(4) = 3$ となります. このとき, $f(M) = 40$ となる最小の正整数 $M$ を解答して下さい.

解答形式

正整数を解答して下さい.

OMC没問1

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
7月前

10

問題文

実数 $x,y$ が $x^2+y^2 = 1$ を満たしています. このとき, $\cfrac{7xy-5x-5y+22}{x^2-10x+25}$ のとり得る最大値を $M$, 最小値を $N$ としたときの $NM$ の値を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるので, $a+b$ の値を解答して下さい.

解答形式

非負整数値を解答して下さい.

円と菱形

tb_lb 自動ジャッジ 難易度:
7月前

11

【補助線主体の図形問題 #121】
 今週の図形問題です。補助線が活躍するのはいつも通りで、さらに、手慣れた方なら暗算で解けてしまうかもしれません。ぜひ幅広く挑戦してもらえたら、と思います。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ΠMC002 E

Furina 自動ジャッジ 難易度:
7月前

109

問題文

整数 $n$ について,$\dfrac{10^n+11}{3}$ が平方数になるものは存在しますか?存在しないなら $-1$ を解答してください.存在する場合,最小の $n$ を解答してください.ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので,$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください.

解答形式

存在しないなら $-1$ を解答してください.存在する場合,最小の $n$ を解答してください.ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので,$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください.

ΠMC002 G

Furina 自動ジャッジ 難易度:
7月前

13

問題文

三角形 $ABC$ について,内心を $I$ とし,$AD=AB=EB$ なる点 $D, E$ をそれぞれ辺 $AC, BC$ 上にとります. いま,円 $CDE$ と $ID, IE$ の交点をそれぞれ $P(\neq D), Q(\neq E)$ とすると,$AP$ は円 $CDE$ に接しました. $AI$ と円 $ABC$ の交点を $M(\neq A)$ とすると,$AI×IM=233, IP=19$ が成立しました. $MQ$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を求めてください.

解答形式

$a+b$ を求めてください.

ΠMC002 C

Furina 採点者ジャッジ 難易度:
7月前

17

問題文

次の条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ求め,$a,b$ をこの順につなげて解答してください.
・$a>150$
・$a-b=2^7$
・$a$ に登場する数字の集合を $X$,$b$ に登場する数字の集合を $Y$ ,$ab$ に登場する数字の集合を $Z$とすると(例: $a=1233445$ のとき $X={1,2,3,4,5}$),$|X|=3,Y\subset X,|Z|=3,X=Z$ が成立する.

解答形式

条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ解答してください.

ΠMC002 A

Furina 自動ジャッジ 難易度:
7月前

49

問題文

素数 $p$ に対して,$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します.正整数 $n$ に対し,$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき,以下の値を求めてください.ただし,有限小数の場合循環はしないとします.
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$

解答形式

答えとなる数字のみを解答してください.

ΠMC002 F

Furina 自動ジャッジ 難易度:
7月前

27

問題文

以下を満たす正の合成数 $N$ としてあり得る最大値と最小値の和を解答してください.
・$N$ のすべての正の約数の並び替え $d_1,d_2,\cdots,d_t$ であって,任意の $k=1,2,\cdots,t-1$ に対して
$$\dfrac{(d_{k+1})^N+1}{d_k}$$
 が整数となるようなものが存在する.

解答形式

最大値と最小値の和を解答してください.