数学の問題一覧

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし，$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると，$DR$は$AB$の中点を通り，$BC$の中点を$N$とすると，$$ND＝2　CE＝5$$が成立しました.このとき，$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

$\alpha$が$\tan\alpha= \frac{1}{\sqrt{2}}$($0<\alpha< \frac{π}{2}$)を満たす定数であるとき、定積分$ \frac{1}{π}\int_{\alpha}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{3}θ+\tanθ}{\tan^{4}θ-\tan^{2}θ+1}dθ $の値を求めよ。

解答形式

分母を有理化すると自然数$a,b$を用いて$ \frac{\sqrt{a}}{b}$と表されるので、$a+b$の値を半角入力の数字のみで答えてください。

63999271を素因数分解した時に出てくる素因数全ての和を求めなさい。

例:35の時
　5+7=12と解答。

問題文

$AB=AC=19,CE=DE=22$ である直角二等辺三角形 $ABC,CDE$ を $B,C,D$ がこの順に一直線上に並び、$A,E$ が $BD$ に関し同じ側にあるように置く。$CD$ の中点を$M$、$AM$ と $BE$ の交点を $P$ ,直線 $PC$ と $\triangle BMP$ の外接円の交点を $Q(\neq P)$ としたとき、$BQ^2$ を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$n$を素因数分解したときの2の指数を$v_{2}(n)$と表します。
この時、$$v_2\left( \prod_{k=1}^{2025} (5^k - 1) \right)$$の値を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

この問題は、Prime Prime Prime (Hard)と一部分一致しているため、相違点を赤色で強調しています。

$n$ 桁の素数であって，すべての $i,j$ $ (1 \le i $ ≦  $ j \le n)$ において， $i$ 桁目から $j$ 桁目までが素数である数のうち，最大のものを答えてください．
例えば， $23$ は $2(i=1,j=1),3(i=2,j=2),$$23(i=1,j=2)$ が全て素数なので条件を満たします．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$ \pi$ ナポゥくんの生まれた日からの日数を $N$ とします.
$ \pi$ ナポゥくんは既に $3$ 歳の誕生日を迎えていますが，$28$ 歳の誕生日は迎えていません．
$N$ の各桁の総和が $22$ であるとき、$N$ として考えられる正整数はいくつありますか．

解答形式

半角英数字で解答してください．

問題文

$314$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．

• $i=1,2, \dotsc,314$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．

なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．

• はじめに $314$ 人それぞれに人$1,$ 人$2,$ ... 人$314$ と名付け，次に，人$i$ $(2 \le i \le 314)$ に $1$ 以上 $314$ 以下のいくつかの正整数を与える．そして， $i=1,2, \dotsc,314$ について以下を繰り返す．
  • $i=1$ ならば人$1$ が叫ぶ．そうでないなら，まだ叫んでいない人それぞれについて，与えられた数の集合を $S$ として，$S$ の中にもう叫んだ人$j$が含まれている場合，その人が数 $i$ を叫ぶ．

このたけのこニョッキが成功するような，$313$ 人に対する正整数の与え方の場合の数が $2$ で最大何回割れるかを解答してください．ただし， $314$ 人の名付け方は固定されているものとします．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

実数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ が考えられる最大値をとるような $P(x)$ の個数を素数 $9973$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H$、直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とすると、$2\angle BAD=\angle CAD,AC=11,DH=4$ であった。このとき、線分 $BC$ の長さを求めよ。

解答形式

求める長さの二乗、$BC^2$ は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$ と表せるので、$p+q$ の値を求めてください。

問題文

$AB>AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $AD$ 上に $AP:PD=AB:BC, AQ:QD=AC:CB$ を満たす点 $P,Q$ をとり、$AC$上に点 $R$ 、$AB$上に点 $S$ を $BC//PR//QS$ を満たすようにおいた。$\triangle APR$ の外接円と $\triangle AQS$ の外接円の交点を $T(\neq A)$ 、$\triangle BCT$ の内心を $I$ 、直線 $ RS $ と直線 $BI$ ,直線 $CI$ の交点を $U,V$ 、線分 $BC$ ,線分 $UV$ の中点を $M,N$ としたところ$$MN=5,UV=16$$であった。$\triangle BCT$ の内接円の半径が $2$ のとき、$IT$ の長さを求めよ。

解答形式

求める値の二乗は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$と表せるので、 $p+q$ の値を答えてください。

問題文

$0$ から $9$ まで書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ $10$ 枚あります。これらを $1$ 列に並べ替えてからいくつかの部分に区切ると、それぞれの部分を $10$ 進数で読んだ数はすべて素数になりました。このとき、できた素数の総和としてありうる最小の値を求めてください。ただし、それぞれの部分の最初のカードに書かれた数は $0$ でないものとします。

解答形式

半角数字で答えてください。