数学の問題一覧
問題
$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$
を$p$で割った余りを求めよ。
解答形式
解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください
問題文
$0.017$$<$$tan1°$$<$$0.018$
を示せ。
解答形式
大学数学なし
自己流ですが、解説を付けているのでぜひ挑戦してみてください
問題文
$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、
$$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$
が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する（ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元）。
$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする（空集合 $\emptyset$ も含む）。
$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。
解答形式
解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください
問題文
n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。
量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。
次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$
ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。
解答形式
半角で
問題文
九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX \tan\angle ACB=\frac{5}{6} AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.
解答形式
半角で解答して下さい.
問題文
SKG学院の学園祭では,下のような$5$マス$\times5$マスの盤を用いて,次のようなゲームを行う.
・お客さんは,12個の碁石を全てマスの上に置く.
・一マスには一つまでしか碁石は置けない.
・この時スコアを次のように定める.
スコア：各行,各列について,碁石が偶数個置かれているものの個数.
スコアが10となるような,碁石の置き方の一例を答えよ.
解答形式
置かないマスは0,置くマスは1で表す.
例えば,一番右上,一番左上にのみ碁石を置く.この置き方は下のように書くものとする.
10001
00000
00000
00000
00000
またこの時,スコアは8である.
