数学の問題一覧

問題文

$X$($0<X<2025$)個の玉から$Y$($0<Y<2025$)個を同時に取り出す操作を考える.
この操作が成り立つ$X,Y$について,玉の取り出し方の総和を求めなさい.

但しボールは互いに区別できるものとする.

解答形式

答えは$a^b+c(a,b,c∈ℤ)$通りと書けます.$a,b,c$として様々なものがありますが,
$a+b+c=Z(Z∈ℤ ,Z>0)$について$MIN(Z)$の値を求めて下さい.

追記：8/6日問題文の訂正を行いました.もし,もとの問題文のせいでミスしたという方がいましたら,大変申し訳ありません。

問題文

三角形 $ABC$ があり，外心を $O$ とした時以下が成り立ちました．
$$
AB+AC=2BC,\quad AB\times AC=24,\quad AO=5
$$
この時，三角形 $ABC$ の内接円の半径の値を求めてください．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$AB=5, AC=7$の三角形$ABC$があり重心を$G$，内心を$I$とすると$BC //GI $であった. このとき三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

四角形 $ABCD$ があり，以下を満たしています：

$$
\angle B + \angle C = 120^{\circ} ,　\angle D = \angle B + 30^{\circ} ,　AB = CD = 7 ,　BC = 13 .
$$

このとき，辺 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正角形 $ABCDEF$ について，辺 $AB,BC,DE, EF$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R,S$ があり，
$$AP =1,\ \ BQ =2,\ \ DR =3,\ \ ES =4$$ が成り立ちます．四角形 $PQRS$ の面積が $64\sqrt3$ のとき，正六角形の一辺の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a + \sqrt b$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正の実数$x,y,z$が$$(x+1)y^2=(x−1)z^2=\frac{3}{5}xyz$$
を満たすとき、
$$\frac{z}{y}=？$$

解答形式

例）？に入る数値を入力してください。

問題文

cipher君は98％の確率で佐る。いまからcipher君が佐るのを失敗するまでに佐る回数をPとする。
Pの分散を求めろ

解答形式

非負整数で求めろ

問題文

$\:2024≧a>b>c≧1\:$なる正整数の組$\:(a,b,c)\:$であって､$x^a+x^b+x^c+1\:$が$\:(x+1)\:$を因数に持つようなものは何通りあるか解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$$
a_1=b_1=2025，
\begin{cases} a_{n+1}=a_n-2n+b_{2028}\\ b_{n+1}=b_n+4n+a_{2028}\end{cases}
$$

について、$a_n$の一般項を
$$a_n=α−(n−1)(n−β)$$と表したとき、$β$の値を求めよ

問題文

$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して，スコアを
$$
\sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k)
$$
で定めます．$2024!$ 通りの並べ替えに対して，スコアとしてあり得る値はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$10$ 進数での桁和が $2500$ となる正整数であって， $2024$ の倍数となるものうち，最小のものを $M$ とします．$M$ を $10$ 進表記したときの $10^{k-1}$ の位の値を $M_k$ としたとき，$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積を $10000000$ で割った余りを答えてください．
ただし，以下の $10^n$ を $2024$ で割った余りに関する表を用いて構いません．

$$
\begin{array}{c:ccccccccc}
n & 3 &4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
10^n\pmod{2024} &1000 & 1904 &824& 144 & 1440& 232& 296
\end{array}\\\\
\begin{array}{ccccccccc}
10 & 11& 12 & 13 &14 & 15 & 16 & 17 & 18\\
\hline
936& 1264 & 496 &912 & 1024 &120 &1200 & 1880 & 584
\end{array}\\\\
\begin{array}{ccccccccc}
19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 &25\\
\hline
1792 & 1728 & 1088 & 760 & 1528 & 1112 & 1000
\end{array}
$$

解答形式

半角数字で解答してください．
たとえば $M=9876543210$ であれば，$M_1=0,M_2=1,\ldots,M_{10}=9$ となるため，$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積は $2 \times \cdots \times 9= 362880$ となります．