公開日時: 2020年8月5日18:37 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
正方形が2つ、図のように配置されています。赤い線分の長さが20のとき、緑で示した四角形の面積を求めてください。
ただし、図中の青点はそれぞれの正方形の対角線の交点です。
半角数字で解答してください。
公開日時: 2020年8月1日20:22 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
半径比が1:2の同心円と直角三角形です。
赤い線分の長さが12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。
半角数字で解答してください。
公開日時: 2020年7月25日21:03 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
直径10の半円中に、直径の和が10となる2つの半円を図のように配置します。点Aを大半円の弧上にとり、線分AB,ACと小半円の交点をD,Eとします。
BD2+DE2+EC2が最小となるようにしたとき、その最小値を求めてください。
半角数字で解答してください。
公開日時: 2020年7月11日9:52 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
半円3つが図のように配置されています。∠Xと∠Yの差を求めてください。
※同じ色で示した線分は長さが等しいです。
0~360までの整数を半角数字で解答してください。
「度」や「°」などの単位を付けないでください。
例: 30° → 30
公開日時: 2020年7月8日17:37 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 大学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
R3上の単位球面
S2={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1}
に対して,その開部分集合 U=S2∖{(x,y,z)∈S2∣x≥0,y=0} を考える。また,R2 の部分集合を
V={(θ,φ)∈R2∣−π/2<θ<π/2,0<φ<2π}
とおく。
写像 f:V→U,g:V→R2 を次のように定める。
f(θ,φ)=(cosθcosφ,cosθsinφ,sinθ)g(θ,φ)=(φcosα,sinα)ただし,α は,関係式
sin2α+2α=πsinθ
の唯一の解である。g が単射であることは証明なしに用いてよい。
(1) (ξ,η)=g(θ,φ) とし,行列
J(θ,φ)=(∂ξ(θ,φ)∂θ∂η(θ,φ)∂θ∂ξ(θ,φ)∂φ∂η(θ,φ)∂φ)を考える。このとき
|detJ(θ,φ)|=アcosθ
である。
(2) 領域 g(f−1(U)) の面積は イ である。
空欄 ア, イ には正の実数が当てはまる。これを 10 進小数に表し,小数第 4 位以降を切り捨てたものを改行区切りで半角数字 0-9
およびピリオド .
を用いて入力しなさい。例えば,1.2345⋯ を当てはめるなら 1.234
と解答すること。
公開日時: 2020年7月7日18:22 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
図中の青い線分の長さはすべて10,赤で示した角はすべて等しいです。
このとき、緑色部分(凹四角形)の面積を求めてください。
解答形式に注意!
答えはA√Bの形になります。(A,Bは自然数)
A+Bを解答してください。
<注意>
根号の中が最小となるようにしてください。
半角数字で解答してください。
例:greenarea=10√8=20√2→A=20,B=2→22と解答
公開日時: 2020年7月4日12:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
円の一部を折り返した図形です。赤、青の線分の長さがそれぞれ
7,3のとき、円の半径を求めてください。(解答形式に注意!)
折り返した円弧部分は元の円の中心を通ります。
Mは弧ABの中点です。
2020/07/04/13:29 解答に誤りがあったため更新しました。
自然数A,B,Cを用いてradius=A√BCと表せます。A+B+Cを解答してください。
A,Cは既約分数の形に、Bは根号の中が最小となるようにしてください。
例:4√186=2√2→A=2,B=2,C=1→5と解答
公開日時: 2020年6月29日18:50 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
xy平面において点Oを中心とする単位円上に異なる2点を取り、それぞれP0,Qとする(ただしP0,O,Qは一直線上にないものとする)。また、∠P0OQのうち小さい方の角をθとする(0<θ<π)。
これから、以下の操作をi=1,2,3,…,nについて計n回行う。
(操作)
弧Pi−1Qのうち短い方の弧を2等分するような単位円上の点をPiとし、△Pi−1PiQの面積をSiとする。
このとき、
Si=sinθアi−12sinθイi−1となるので、
n∑i=12i−1Si=12(ウnsinθエn−sinθ)となる。ここでn→∞とすると
右辺の極限値は、
12(θ−sinθ)となり扇形P0OQから△P0OQを取り除いた図形の面積に収束することが分かる(図形的にも明らか)。
ア~エに入る整数を半角で1,2,…行目に入力してください。
公開日時: 2020年6月28日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
n=0,1,⋯ に対して
In=∫10xn√1−x4dx
と定める。この広義積分は収束することが知られている。
任意の n=0,1,⋯ に対して
In+ア=n+イn+ウInが成り立つ(ただし ア は 0 でない)。これを利用すると
∞∏n=1[1−4(4n−1)2]=エπオαカが導かれる。ここで α は
α=∫∞0t−3/4e−tdt=Γ(14)で定義される定数である(この広義積分は収束することが知られている)。
以下の事実は証明なしに用いてよい。
ア 〜 カ には,半角数字 0 - 9
のいずれかが当てはまります。ア 〜 カ に当てはまるものを,改行区切りで入力してください。
公開日時: 2020年6月28日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
x についての2次方程式
3x2+(5k−4)x+4k=0が異なる2つの正の実数解 α,β(α<β) を持ち、β の小数部分が α である。このとき、k の値を求めよ。
解答は
N−√MLと表わされる(N,M,L は自然数)。分数や平方根は最も簡単な形にしてある。解答欄には N,M,L の値をそれぞれ 1, 2, 3 行目に半角数字で入力せよ。
公開日時: 2020年6月28日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
xy 平面上に原点を中心とする単位円 C が存在する。C 上の点 A,B は第一象限に存在し,それぞれ x 座標が 14,34 である。また、楕円Dが存在し、その式は
x2p+y2q=1 (p>q>0)
と表される。
ある直線が円 C 上の弧 AB のうち短い方(両端を含む)と接していて,なおかつ楕円 D とも接している。この2つの接点の距離が 1 であるとき、p の最大値を求めよ。
(追記:2020年6月29日1:25 問題の不備を修正いたしました。解答は変わりません。)
解答は,自然数 a,b を用いて
a+√bという形で表される(平方根は最も簡単な形にしてある)。解答欄には,一行目に a、2行目に b の値を半角数字で入力せよ。
公開日時: 2020年6月28日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
n を非負整数とする。縦の長さが 3,横の長さが 2n の長方形をした部屋を,辺の長さが 1 と 2 の長方形の畳で敷き詰める方法の総数を an とする。ただし,部屋を固定したとき,畳を回転または反転させて一致するような敷き詰め方は区別して数える。また,便宜上 a0=1 と約束する。
例えば,縦の長さが 3,横の長さが 2 である部屋を畳で敷き詰める方法は
の 3 通りだから a1=3 である。このとき
an=アan−1+イn−2∑k=0ak(n=2,3,⋯)が成り立つから
a4=ウエオである。また,上の漸化式を変形すると
limn→∞an+1an=カ+√キが成り立つことが分かる。
ア 〜 キ には,半角数字 0 - 9
のいずれかが当てはまります。ア 〜 キ に当てはまるものを,改行区切りで入力してください。