数学の問題一覧
間違えて公開してしまい、回答を一件いただいているので、泣く泣くボツ問としてここに供養します。
$\min(f(x))$を関数$f(x)$の$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$における最小値とする。
以下の値を求めよ。
$$\int^{16}_0\min(\tan^2{x}+a\cos{x})da$$
ただし$a$と$x$は独立している。
問題文
$$
f(x)=log_x 2とする。y=f(f(f(x)))について、
$$
(1) 定義域を述べよ。
(2) y=2のときxの値を求めよ。
問題
次の関数が $|x-a|\leqq 1$ のもとで負の値と素数の値域幅をとるとき，$\sqrt b$ の平均を求めよ．
- 二次関数 $y=f(x)$ のグラフは曲線 $y=x^2$ と接しつつ点 $(a,b)$ で対称となる．
解答形式
$100$ 倍した整数部分を半角数字で入力してください．
※ 問題を一部修正しました．今後も手直しが続く可能性があります．
問題
(1) 定積分
$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$
の値を求めよ。
(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を
$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$
で定める。定積分
$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$
の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。
備考
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。
問題文
座標平面上の $2$ 点 $A(14,0),B(-14,0)$ を考えます. また, $x$ 軸上にない格子点 $C (p,q)$ を $\triangle ABC$ が直角三角形とならないようにとります.
$$\tan \angle{ABC},\ \tan \angle{BCA},\ \tan \angle{CAB}$$
がこの順に等差数列となるとき, 点 $C$ として考えられるすべての座標に対して $p^2+q^2$ の総和を解答してください. ただし, 格子点とは $x$ 座標も $y$ 座標も整数であるような点のことを指します.
解答形式
答えは正の整数となるので, その整数値を半角で解答してください.
問題文
$a$と$r$を正の実数とし, $a>\frac{1}{2}$であるものとします.
放物線$K$と円$L$を次のように定めます.
$$K: y=x^2\,\,,\,\,L: x^2+(y-a)^2=r^2$$このとき, $K$と$L$は接しています.その接点を第2象限にあるものを$A$, 第1象限にあるものを$B$とし, 円$L$の中心を$P$, 直線$AP$と円$L$の$A$でない交点を$C$, $x$軸との交点を$Q$とします.また, △$ABC$の面積を$S$,
四角形$PQOB$の面積を$T$とするとき, 次の等式を満たしました.$$\frac{T}{S}=689$$aは1つの非負整数に定まりますのでその値を求めてください.
解答形式
非負整数を半角で入力してください.