王道の整数問題

問題文

$x$の4次方程式
$$
x^{4}-5x^{3}-2(n+7)x^{2}+5nx+n^{2}=0
$$が異なる4つの整数解をもつとき、整数$n$の値を求めよ。

解答形式

半角数学で解答してください。
また、$n$の値が2つ以上ある場合
改行して小さい順に並べてください。

(例) $n= -5 , -4$ のとき
-5
-4

問題文

2023-N=√(73x)とする。
Nが整数のとき、Nの絶対値が最小となるようなxを求めよ。ただし、xは自然数とする。

解答形式

そのまんま半角でどうぞ(｀∇´)

【補助線主体の図形問題 #078】
　今週来週と2週続けて内心と傍心をテーマにした問題をお送りします。補助線が活躍するのはいつも通りです。若干計算量が多いので、紙とペンを用意した方が安心できるかもしれません。暗算で解いてやるという初等幾何猛者の方はどうぞ暗算で解いてやってください！

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #081】
　今週の図形問題は求角問題にしてみました。おそらく僕も想定していなかった解法がいろいろあることでしょう。想定解は補助線がビシッと活躍します。どうぞ思い思いの解法をお楽しみください。

※2022年12月6日22時17分追記
問題文に誤りがあり、修正したものに差し替えました。ここにお詫びして訂正いたします。申し訳ございませんでした。
(誤)接線AB、AC → (正)接線PB、PC

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #010】
　今年2021年の1月末から投稿を初めて10問目となりました。キリ番記念(？)に少しばかり手ごたえのある問題をお送りすることにします。うまい補助線を引けるだけでは不十分で、補助線を活かすための発想も必要です。じっくり腰を据えて補助線を戯れてみてください！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\jpara{\mathrel{\unicode{x2AFD}}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. まずすべきことと全体の方針
2. ヒント1の続き
3. ヒント2をやや具体的に
4. ヒント2･3の続き

【補助線主体の図形問題 #079】
　先週今週と2週続けて内心と傍心をテーマにした問題をお送りしています。補助線次第では暗算可能です。挑戦をお待ちしております！

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

図のように線分の長さが与えられたとき、青で示した線分の長さを求めてください。

解答形式

青い線分の長さを$x$とすると$x^2$は整数となるので、$x^2$を半角数字で解答してください。

問題文

長方形$ABCD$を底面とする四角錐$P-ABCD$があります。$PA=1,PB=4,PC=8$のとき、$PD$の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$\sin 1^{\circ} $と$\tan 1^{\circ} $を大小比較せよ。

解答形式

以下の3つのうちから選び、カタカナ1文字で答えてください。

ア)$\sin 1^{\circ}<\tan 1^{\circ}$
イ)$\sin 1^{\circ}=\tan 1^{\circ}$
ウ)$\sin 1^{\circ}>\tan 1^{\circ}$

【補助線主体の図形問題 #065】
　今週の図形問題は二等辺三角形、外心に垂線、平行線と要素てんこ盛りです。要素が多いがゆえに思いつく方針も多いかもしれませんが、今回も暗算解法を仕込んであります。暗算からあまりに遠い方針に陥りそうなら、一旦間を置いてから解き直すのもいいかもしれません。存分に補助線解法をお楽しみください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #007】
　今回は図形問題の王道から円がらみの求角問題を用意しました。手慣れている方なら脳内で処理できるくらいの計算量です。どうぞ円と角度の世界を堪能してください。

解答形式

${
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\def\myarc#1#2{\stackrel{\style{transform:matrix(#1,0,0,1.5,0,2)}{\frown}}{\mathrm{#2}}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体方針をぼんやりと
2. ある定理の紹介
3. ヒント1・2の内容をやや具体的に

【補助線主体の図形問題 #061】
　今週の図形問題はぐっと取り組みやすい問題を用意しました。補助線を引くとどこかで見た構図が現れるはずです。今まで横眼で眺めていただけの人もぜひ挑戦してみてください！

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。