整数問題2/7

問題文

内接四角形ABCDとその対角線の交点Mについて、図のような条件が与えられたとき、線分ACの長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

素数 $p,q$ が
$$4^p+2^p+1=p^2q$$を満たします. このようなすべての組 $(p,q)$ に対して, $p+q$ の総和を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

図の条件の下で，半円の直径 $x$ を求めてください．

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください．

問題文

$2^{p+q}-p^{q}=13$を満たす素数$\left(p,q\right)$をすべて求めよ．

解答形式

$p^{2}+q^{2}$の値を，半角数字で解答してください．答えが複数ある場合は，値の小さい順に，1行に1つずつ書いてください．

（例）
解答が$\left(p,q\right)=\left(2,7\right),\left(5,11\right)$のときは，以下のように解答します．

53
146

問題文

半円が内接する長方形に、図のように線を引きました。赤と青で示した線分の長さがそれぞれ3,4で、ピンクで示した線分の長さが等しいとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

$x=\sqrt{\fbox{アイ}}$です。文字列 アイ を解答してください。

問題文

図の条件の下で，線分 $AB$ の長さを求めてください．
※orthocenter：垂心，circumcenter：外心

解答形式

$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

【補助線主体の図形問題 #121】
　今週の図形問題です。補助線が活躍するのはいつも通りで、さらに、手慣れた方なら暗算で解けてしまうかもしれません。ぜひ幅広く挑戦してもらえたら、と思います。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #115】
　今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

$p^{2}q^{3}+r^{2}=s^{4}$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ は $n$ 組あり，それぞれの組について $S=p+q+r+s$ を求めると，$S$ の総積は $N$ である．
$n$ および $N$ の値を求めよ．

解答形式

一行目に $n$ の値を，二行目に $N$ の値を，それぞれ半角数字で解答してください．

問題文

共通部分を持たない2円と、その共通接線があります。図中の同じ色で示した線分の長さが等しいとき、2円の半径比を求めてください。

※図は正確でないことに注意

解答形式

大円の半径を$R_1$、小円の半径を$R_2$とすると、$R_1:R_2=\fbox ア:\fbox イ$です。文字列 アイ を解答してください。
例：$R_1:R_2=5:2$ であれば 52 と解答

問題文

図の条件の下で、$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

図の条件の下で、ピンクで示した線分の長さを求めてください。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $x=\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください。