整数問題2/7

問題文

$n,m \ (m\geq n)$を正整数の定数とし、多項式$f(x)$を$f(x)=x^m$で定めます。
$f(x)$を$(x-2)^n$で割った商$Q(x)$について、$Q(2)=40$が成立しました。

$(n,m)$の組としてあり得るもの全てについて、$nm$の総和を求めてください。

解答形式

正整数値を半角で入力してください。

4×4の16マスがある。このマス目を赤、青、黄、緑で塗ることを考える。

A：縦と横のどの辺をとっても赤、青、黄、緑が一回ずつ出現する。
B：以下のように4つの部屋に分割したときにどの部屋をとっても赤、青、黄、緑が1回ずつ出現する。
□□｜□□
□□｜□□
＿＿｜＿＿
□□｜□□
□□｜□□

AとBを両方満たす塗り方は何通りありますか？
（例：30通りだったら、30と答えなさい）

${}$　西暦2024年問題第4弾です。今回は連分数を素材にしてみました。一風変わった解き心地の問題をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は有理数$a$と$b$の値を2行に分けて入力してください。値が整数のときにはそのまま整数表現で、非整数のときには既約分数○/△の形で入力することにします。「$a=$」「《1行目》」などの入力は必要ありません。
（例）$a=2024$、$b=\dfrac{1}{4}$ → 《1行目》$\color{blue}{2024}$、《2行目》$\color{blue}{1/4}$

【補助線主体の図形問題 #070】
　今週は、僕の出題では珍しく軌跡の問題です。初等幾何によらない解法も存在しますが、いつも通り補助線でも突破可能です。難易度評価は補助線による解法を想定しており、それ以外の解法が思いついた方にはぐっと簡単に見えるかもしれません。お好みの解法でお楽しみください！

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

鋭角三角形ABCについて，外心をO，重心をG，垂心をH，内心をIとします．
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき，$AI$の2乗を答えてください．

解答形式

答えは非負整数なので非負整数値を入力してください．

問題文

下図は、2つの正方形と円を組み合わせた図形です。点（●）は小さい正方形の辺を4等分する点で、円は大きい正方形に内接しています。大きい正方形の面積が60㎠のとき、小さい正方形の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

四角形ABCDは正方形で、点E,F,G,Hは辺の中点です。四角形ABCDの面積が54㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

内接四角形ABCDとその対角線の交点Mについて、図のような条件が与えられたとき、線分ACの長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #092】
　今週の図形問題です。解く人によって難易度の感じ方が大きく変わりそうな問題となりました。暗算で処理するのは厳しいでしょう。紙＆ペンをお手元にご用意の上お楽しみください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

高さが100cmで底面積が600cm²の直方体の形をした水槽がある。この水槽は通常の水槽とは異なり、水槽の底面を上下移動させることができる。（底面が移動するとそれに伴って水も移動するため、水面も移動する。）
まず、底面を1番下にした状態で毎分500cm³で40分間、水を入れた。
次に底面を上にXcm移動させた。
そして底面が上に移動した状態で毎分600cm³で60分間、水を入れた。
そして底面を上にXcm移動させると、4000 cm³ だけ水が溢れ出た。

この時、Xの値を求めなさい。ただし分数になる場合は以下のように答えなさい。

（例　1/2の場合は12 54/73の場合は5473 22/23の場合は2223 と答える ）

問題文

半円が内接する長方形に、図のように線を引きました。赤と青で示した線分の長さがそれぞれ3,4で、ピンクで示した線分の長さが等しいとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

$x=\sqrt{\fbox{アイ}}$です。文字列 アイ を解答してください。

【補助線主体の図形問題 #102】
　今週の図形問題です。ある素朴な性質を元に作問しました。手慣れた方は暗算で行けるかもしれません。それぞれお好きなようにお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。