三角形の性質

問題文

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$において, $C$から$AB $に下ろした垂線の足を$D$, $BC$の中点を$M$, $AM$と$CD$の交点を$E$とし, 円$BDM$と$CD$の交点のうち$D$ではない方を$F$, 円$CDM$と$AM$の交点のうち$M$ではない方を$G$とします. $CD=32$, $DM=20$, $EF=5$であるとき, $FG$の長さの$2$乗を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください.

問題文

$x,y$を自然数とする。$x^2+8y$と$y^2+8x$がともに平方数になるような$x,y$の組$(x,y)$をすべて求めよ。

解答形式

例えば、$(x,y)=(1,2),(13,4),(51,16)$と答えたい場合は

12
134
5116

と入力してください。解の組は$x$の値が小さい順に並べてください。$x$の値が同じで$y$の値が異なる場合は$y$の値が小さい方を先に入力してください。

2つの正三角形と2つの正方形

2つの同じ大きさの正三角形と2つの正方形があります。
色が付いている部分と大きな正方形の比を答えましょう。

解答形式

分数で答えてください。

問題文

5進数で表された[2024]を2進数で表せ。

解答形式

数字のみでOK

【補助線主体の図形問題 #061】
　今週の図形問題はぐっと取り組みやすい問題を用意しました。補助線を引くとどこかで見た構図が現れるはずです。今まで横眼で眺めていただけの人もぜひ挑戦してみてください！

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

下図で、 四角形ABCDは平行四辺形です。四角形ABCDの面積が50㎠、五角形GHIJKの面積が5㎠のとき、十角形DGEHFIBJCK（青い部分）の面積は何㎠ですか。ただし、図は正確とは限りません。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

数列{a_n}を,
a_1=log2 , a_(n+1)=(na_n+log(2n+1)+log2)/(n+1)
によって定める。
このとき, この数列の一般項 a_n および 極限値 lim(n→∞) (a_n-logn) をそれぞれ求めよ。

記述解答(大雑把で良い)でお願いします。

問題文

$a$と$r$を正の実数とし, $a>\frac{1}{2}$であるものとします.
放物線$K$と円$L$を次のように定めます.
$$K: y=x^2\,\,,\,\,L: x^2+(y-a)^2=r^2$$このとき, $K$と$L$は接しています.その接点を第2象限にあるものを$A$, 第1象限にあるものを$B$とし, 円$L$の中心を$P$, 直線$AP$と円$L$の$A$でない交点を$C$, $x$軸との交点を$Q$とします.また, △$ABC$の面積を$S$,
四角形$PQOB$の面積を$T$とするとき, 次の等式を満たしました.$$\frac{T}{S}=689$$$a$は1つの非負整数に定まりますのでその値を求めてください.

解答形式

非負整数を半角で入力してください.

問題文

級数
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\cdots$$
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 $n$ 項の絶対値は $\dfrac{1}{n}$ であり, 各項の符号は $4$ 項ごとに交代する.

解答形式

収束値は $\fbox{A}\text{ - }\fbox{F}$ をいずれも自然数として最も簡単な形で $\displaystyle{\frac{\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}\pi+\frac{\log{\fbox{E}}}{\fbox{F}}}$
と 表されます. 文字列 $\fbox{A}\,\fbox{B}\,\fbox{C}\,\fbox{D}\,\fbox{E}\,\fbox{F}$ を解答してください.

問題文

$AB=AC$なる鋭角二等辺三角形$ABC$において$AB$,$BC$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし、$MC$の垂直二等分線と$AN$の交点を$P$とします。$\triangle ABC$の面積は$15$であり、$AP:PN=4:1$であるとき、$BC^4$を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$3$ つの自然数を積が $1000000$ となるように選ぶ方法は何通りありますか.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記：
回答いただいた内容的に, $3$ つの自然数を区別するかどうかがわかりにくかったと思われるので追記します.
この問題では $3$ つの自然数は区別しません. すなわち, $(1,10,100000)$ と $(10,1,100000)$ のように
並び替えただけの組は同一のものとみなします.

問題文

$\displaystyle \frac{xy}{2x+y}=\frac{1}{y}$ を満たす整数 $(x,y)$ の組をすべて求めよ。

解答形式

各組を1行ごとに入力してください。ただし，$x$ の値が小さい順に1行目から入力し，さらに $x$ の値が同じ場合は，$y$ の値が小さい順に入力してください。
例）答えが$(x,y)=(0,1),(0,2),(-1,2)$ のとき
（1行目）-1,2
（2行目）0,1
（3行目）0,2