自作問題1(組合せ)

問題文

$64$個の球 $a_0,a_1,...a_{63}$それぞれを白色と黒色で塗り分ける方法で、以下の条件を満たすものは何通りありますか

・任意の整数 $i,j$ $(0\leqq i\leqq7,0\leqq j\leqq4)$ に対し、
$\lbrace a_{8i+j},a_{8i+j+1},a_{8i+j+2},a_{8i+j+3}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
かつ、
　任意の整数 $k,l$ $(0\leqq k\leqq4,0\leqq l\leqq7)$ に対し、
$\lbrace a_{8k+l},a_{8k+l+8},a_{8k+l+16},a_{8k+l+24}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$0$ 以上 $1$ 以下の実数の組 $(x_0 , x_1 ,\ldots, x_{100})$ と正の実数の組 $(y_0 , y_1 ,\ldots ,y_{100})$ が以下の条件を満たしました．
$$
x_ny_n=n(0\leq n\leq 100),\quad y_0=2,\quad y_{100}=260
$$
この時，以下の値の最小値を求めてください．
$$
\sum_{k=0}^{99} \left(\sqrt{y_k^2+y_{k+1}^2-2y_ky_{k+1}\Bigl( x_kx_{k+1}+\sqrt{(1-x_k^2)(1-x_{k+1}^2)}\Bigr)}\right)
$$

解答形式

求める値は $\sqrt{m}$ と表せるので， $m$ の値を半角数字で解答してください．

問題文

$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします．
正整数 $n$ に対して， $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます．$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください．ただし，$3343$ は素数です．

解答形式

非負整数を解答してください．

問題文

自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します.
$$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

$3×3$ のマス目に $1$ から $9$ までの整数を重複なく書き込む方法のうち，辺を共有せず，頂点を共有するどの $2$ マスについても，そこに書き込まれた $2$ 数が互いに素であるものは何通りありますか？ただし，回転や反転によって一致するものも異なるものとみなします．

問題文

大変だ！Golden Gokiburi が座標 $(0,0)$ に出たぞ！
Golden Gokiburi は 一回の移動で $(x,y)$ から $(x+1,y+1)(x,y+1)(x-1,y+1)(x+1,y)(x-1,y)(x,y-1)$ の6地点のうちいずれか一つに等確率で移動します。
$(3,7)$ にいるしましま君は不安で不安で仕方がありません。
$(0,0)$ にいる Golden Gokiburi が $900$ 回移動した後の $(3,7)$ と Golden Gokiburi との距離の $2$ 乗の期待値を求めてください。

解答形式

答えは非負整数になるので半角で解答してください。

問題文

$AB=100,AC=200$ なる $\triangle ABC$ において，$A$ 類似中線と $BC$ の交点を $X$ とします．$BX,CX$ がいずれも正整数値であるとき，$AX$ の取り得る正整数値の総和を求めてください．

解答形式

$AX$ の取り得る正整数値の総和を解答してください．

問題文

$x,y,z$は整数とする。また、$p$は素数とする。
$x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}-8x^{2}yz-8xy^{2}z-8xyz^{2}=p$となるとき、$p$の最小値を求めよ。また、$p$が最小値をとるとき、$x,y,z$の組を全て求めよ。

解答形式

$p$の最小値を$p$=~の形式で1行目に、$x,y,z$の組を$(x,y,z)$=~ の形式で2行目以降にすべて書いてください。ジャッジは自分でするのであまり気にしないで自由に回答してください。

問題文

$17$で割り切れ、各桁の数の和も$17$で割り切れるような正整数を$\textbf{良い数}$と呼びます。$\textbf{相異なる}$良い数同士の差の絶対値としてあり得る最小値を求めなさい。

追記

不備が見つかったため、答えを変更しました。本当に申し訳ございません。

問題文

直径 $10$ の円周上に $120$ 個の異なる点 $A_1,\ldots, A_{120}$があります．$120$ 個の点のうち $2$ 点を選ぶ方法は ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りあります．この ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りすべての二点の距離の総積の最大値を $M$ としたときに，$M$ は整数値になるので，$M$ の正の約数の個数を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

$100\times 100$のマス目に整数（負でもよい）を書き込んで、各行・各列の積が全て$10$になるようにしたものを良い盤面と呼びます。良い盤面に書かれた数の$2$乗和をその良い盤面のスコアとします。
すべての良い盤面にわたるスコアの総和を$M$とするとき、$M$が$2$で割り切れる最大の回数を求めてください。