あるサバイバルゲームには $2024$ 人の人が参加しており,以下を $2022$ 回繰り返します.
このとき,最後に残った二人に一度も対戦をしていない人が含まれる確率を求めてください.ただし,求める確率は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるため,$a+b$ を解答してください.
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$728^{(729^{730})} + 730^{(729^{728})}$ は $3$ で最大何回割れますか.
凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします. $$ \begin{cases} AB=BC=CD=DE \\\\ 2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\ 2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ} \end{cases} $$ このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.
非負実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ を満たすとします. $$ x^{5001}y^{5002} + y^{5001}z^{5002} +z^{5001}x^{5002} $$ の最大値は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができます.$a+b$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して,スコアを $$ \sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k) $$ で定めます.$2024!$ 通りの並べ替えに対して,スコアとしてあり得る値はいくつありますか.
次の和を $10$ 進小数で表し、小数第 $61$ 位から第 $70$ 位までを求めよ。 $$ \sum_{n=1}^{9}\frac{n(10^{2n+1}-1)}{9\cdot10^{n^2+2n}} $$
小数第 $61$ 位から第 $70$ 位まで ($10$ 桁の数) を、半角で1行目に入力せよ。 2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
一辺の長さが $4$ の正三角形 $ABC$ について,$BC$ の中点を $M$ とし,線分 $BC$ 上に $BD=1$ なる点 $D$ をとります.$3$ 点 $ABD$ を通る円と$3$ 点 $ACM$ を通る円との交点を $X$ とするとき,$AX$ の長さの $2$ 乗を求めてください.ただし,求める値は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき,$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます.この二つの数列のスコアを $$ \sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k} $$ で定めます.数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが,これらの組におけるスコアの(相加)平均を求めてください.ただし,求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて,$\dfrac{p}{q}$ と表されるため,$p+q$ を解答してください.
赤いボールと青いボールがそれぞれ十分に入っている袋から $50$ 個のボールを取り出して一列に並べました.このとき,次の条件を満たす取り出し方において,取り出した青いボールの個数としてあり得る値の総和を求めてください. ・連続する $3$ 個のボールの少なくとも $1$ つは赤いボールである.
$AB=13, AC=15$ なる三角形 $ABC$ について,直線 $BC$ 上に $AP=12$ なる点 $P$ がただ一つ存在しました.三角形 $ABC$ の面積としてありうる値の総和を求めてください.
△ABCの内心をI,∠A内の傍心をJとすると以下が成立した. BI=7, CI=15, IJ=25 このときBCの長さを解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
実数 $a,b$ が $a+b=10$ を満たすとき,$a^3+b^3$ の最小値を求めてください.
$ $ $5$ 種類の大きさ $1,2,3,4,5$ の服がそれぞれ $3$ 枚ずつあり,合計 $15$ 枚にはすべてに相異なる色が着色されています.$A$ さん,$B$ さん,$C$ さんの $3$ 人は,これら $15$ 枚の服からそれぞれ $1$ 枚ずつ異なる服を選んで着ます.ここで,$3$ 人が着ることのできる服の大きさは以下の通りです.
$ $ このとき,$3$ 人の服の選び方はいくつありますか? $ $ ただし,$3$ 人全体で見て同じ服を選んでいても着ている人が異なる場合違う選び方として区別します.
追記:6/26 解説の誤字を修正しました。ご指摘ありがとうございます。
非負整数を半角で解答してください.