bMC_A

問題文

$728^{(729^{730})} + 730^{(729^{728})}$ は $3$ で最大何回割れますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします．
$$\begin{cases} AB=BC=CD=DE \\\\ 2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\ 2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ} \end{cases}$$
このとき，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので，$a+b$ を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

非負実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ を満たすとします．
$$x^{5001}y^{5002} + y^{5001}z^{5002} +z^{5001}x^{5002}$$
の最大値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができます．$a+b$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して，スコアを
$$\sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k)$$
で定めます．$2024!$ 通りの並べ替えに対して，スコアとしてあり得る値はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

一辺の長さが $4$ の正三角形 $ABC$ について，$BC$ の中点を $M$ とし，線分 $BC$ 上に $BD=1$ なる点 $D$ をとります．$3$ 点 $ABD$ を通る円と$3$ 点 $ACM$ を通る円との交点を $X$ とするとき，$AX$ の長さの $2$ 乗を求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$2^{2^{10}}$ を素数 $2027$ で割った余りを求めてください．

問題文

$AB=13, AC=15$ なる三角形 $ABC$ について，直線 $BC$ 上に $AP=12$ なる点 $P$ がただ一つ存在しました．三角形 $ABC$ の面積としてありうる値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

次の和を $10$ 進小数で表し、小数第 $61$ 位から第 $70$ 位までを求めよ。
$$\sum_{n=1}^{9}\frac{n(10^{2n+1}-1)}{9\cdot10^{n^2+2n}}$$

解答形式

小数第 $61$ 位から第 $70$ 位まで ($10$ 桁の数) を、半角で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

$2^{20}!!$ は $2$ で何回割り切れますか？

解答形式

半角数字でお答え下さい。
計算機はご自由にお使いください。

問題文

実数 $a,b$ が $a+b=10$ を満たすとき，$a^3+b^3$ の最小値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$8$ つのアルファベット $\mathrm{I, M, L, I, M, R, I, M}$ を並べて得られる文字列であって，$\mathrm{L}$ が $\mathrm{R}$ より左にあるでかつ，$\mathrm{I}$ の右隣に $\mathrm{M}$ が来るものはいくつありますか．

問題文

$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．