第1回琥珀杯　大問4

問題文

円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

問題文

$AB=DC=2,AD=3,AC=\sqrt{17}$を満たす等脚台形$ABCD$の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子を持たない正整数$c$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}$と表せるので、$abc$を解答してください。

問題文

正三角形$ABC$の内部の1点$P$は、$AP=5,BP=4,CP=3$を満たす。この正三角形の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子をもたない正整数$c$、及び正整数$d$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}+d$と表せるので、$a+b+c+d$を解答してください。

問題文

正整数$n$の値を無作為に定めるとき、$\sqrt{n}^\sqrt{n}$が有理数となる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

問題文

図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。

解答形式

四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。
例）$\frac{52}{3}$→17.33

問題文

$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。

解答形式

解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。
なお，解答にあたって，特殊な数式は次のように入力してください。

対数：$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m}
指数（$\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください）：$n^{m}$ = n^{m}
分数：$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}

問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.

関数列 $\{f_n\}_{n=0,1,\dots}$ が以下を満たします.

• $f_{0}(x)=e^{e^x}$
• $f_{n}(x)=\dfrac{d}{dx}f_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\dots)$.

また, 実数列$\{A_n\}_{n=1,2,\dots}, \{B_n\}_{n=1,2,\dots}$を以下のように定義します.

• $\displaystyle A_n=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}f_{n}(x)$ .
• $\displaystyle B_n=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}\big(e^{-x}f_{n}(x)-A_n)$.

$B_{24}$ の値を求めてください.

問題文

三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で，残りの辺の長さは素数であるとする．また，$T$ の面積は整数で，外接円の直径は素数であるとする．$T$ の各辺の長さを求めよ．

解答形式

$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。（論証は採点できないので、解説を参照してください。）

備考

2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。

問題文

$n$を自然数とする。$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} n^k$を$8$で割った余りを$a_{n}$、 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$とする。すべての$n$に対して$a_{n+l}=a_{n}$が成り立つような自然数$l$の最小値と$S_{m+2025}=2S_{m}$が成り立つような自然数$m$の最大値を求めよ。

解答形式

1行目に$l$を,2行目に$m$を半角英数字で解答してください。例えば$l=123,m=456$とする場合

123
456

としてください。

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

数列$a_n$を次のように定める。
$a_1=1$
$a_n=n^{a_{n-1}}$
このとき、以下の問いに答えなさい。
(1)$a_{2023}$の一の位はいくつか求めよ。
(2)$a_{2024}$の一の位はいくつか求めよ。
(3)$a_{2024}$の百の位はいくつか求めよ。

解答形式

(1) ~~~
(2) ~~~
の形でお願いします。問題番号と解答、一つの小問の解答と解答の間は半角スペースを開けてください。
解答は数字のみお書きください。