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問題文

$\triangle{ABC}$ について直線 $BC$ 上に $W,B,C,E$ の順と並ぶように点 $W,E$ を取ると以下のことが成立しました．

• $AC=35, AW=45,BW=36$
• $BC:CE=1:8$
• $\triangle AWC$ は鈍角三角形であり，その面積は$72\sqrt{111}$

このとき $\triangle{BAE}$ の外心を $O$ とすると，互い素な正整数 $a,b$ を用いて，
$$\triangle{BAE}:\triangle{WAO}=a:b$$
と面積比が表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする、半径 $1$ の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_n$ が並んでいる。

線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

（１）$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

（２）極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。

条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。

解答形式

条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

等式
$$3kp-35p=q^2+2^p$$を満たすような素数 $p,q$ と正整数 $k$ の組 $(p,q,k)$ を考えます．$p+q+k$ として考えられる値のうち小さい方から $5$ つの総和を解答してください．　

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

焼き鳥はタレに限るという垂川さんと、いやいや塩しかありえないという塩見さんは、激論の末、ゲームで決着をつけることになった。

$N,M$ をそれぞれ $1$ 以上 $2024$ 以下の整数とする。同じ大きさの焼き鳥が $N\times M$ の長方形状に並べられている。白と黒の串がたくさんある。垂川さんと塩見さんは、縦横いずれかの列または行を選んで、白または黒の串を端まで刺し通すという行動を、垂川さんから始めて交互に行う。ただし、各列または行にはそれぞれ $1$ 本の串しか刺し通すことができない。

合計 $N+M$ 本の串を刺し終わったとき、刺された串の色が縦と横で同じ焼き鳥の数を $S$、異なる焼き鳥の数を $D$ とする。$S>D$ ならば垂川さんの勝ち、$S<D$ なら塩見さんの勝ち、$S=D$ なら引き分けとする。

垂川さんの行動にかかわらず、うまく行動すれば塩見さんが必ず勝てるような組 $(N,M)$ はいくつあるか。

解答形式

条件を満たす組 $(N,M)$ の数を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました．
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び，下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか．

• 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない．（こよクロ（『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット）は解散しているため）
• 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない（『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため．しかし，『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い．）

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の正整数とします．正 $n$ 角形から $3$ 頂点選んでそれらを $A,B,C$ としたとき，$\angle ABC =44.5^\circ$ となりました．$n$ として考えられる最小の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

外接円の直径が$5$，$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において，$\triangle ABC$の内心，$B$傍心をそれぞれ$I_1$，$I_B$とし，$\triangle ADC$の内心，$D$傍心をそれぞれ$I_2$，$I_D$とすると，$I_1$，$I_2$，$I_B$，$I_D$は同一円周上にあり，$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした．$AC$の中点を$M$としたとき，$BM+DM$を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

問題文

4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を，小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします．このとき，以下の値を求めてください：

$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$

解答形式

互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．