以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。 $$ x^{y}=y^{x-y} $$
半角数字で解答して下さい。
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₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。
半角数字で入力してください。
$n^2-n+1$が平方数となるような非負整数$n$を全て求めよ。
$n$を小さい順に改行して半角で解答して下さい。 例)$n=3,7,9$の場合 3 7 9 と解答して下さい。
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ. (ただしpは素数とする)
(半角の自然数が答え)
整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。
$x \equiv p \pmod{9797}$ $x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$
この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。
半角左詰め
$p=3, \quad q=5, \quad r=7$
$X = p^q + q^p$ $Y = q^r + r^q$ $Z = r^p + p^r$
$N = X^p + Y^q + Z^r$
このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。
$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。
$∠BAC=30°$、$BC =3$である$△ABC $について、$AB$の最大値を解答してください。
半角数字で解答してください。
以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。 $$ 4a²+b²+c²=d² $$
以下の2次方程式 $$ x^{2}-2ax+b=0 ― (*) $$ について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。 $a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 $b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。
(2)~(4)は,自作場合の数・確率1-2につづく
2025/01/07追記 解説をアップデート,全員に対して公開に設定
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答 例)$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
工夫して答えなさい。
99×99=?
命題「aⁿ+bⁿ=cⁿ (n整数、a,b,cの最大公約数1)を満たす全ての自然数a,b,cは互いに素である」の真偽を述べよ
真ならば真、偽ならば偽と入力