整数問題α

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(2)$ $P(n)$を$n$の式で表せ。

(3)(4)は，自作場合の数・確率1-3につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

$$
P(n)= \frac{A(Bn+C)(Dn+E)}{F(Gn^{2}+Hn+I)}
$$

$A$~$I$に当てはまる整数を半角数字，空白区切りで回答

文字式の分数解答で自動ジャッジするのが大変だったので穴埋め式です。
わざとわかりづらくしてるので、1が入るところとかあります。

この問題は(2)です。が(1)を解かなくてもできます。解くと作者が喜びます。

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。

(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

問題文

$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

98x^2+190x-312を因数分解せよ。

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。？
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122}　AH||DX　DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

$(0,0),(4,0),(0,4),(4,4)$を頂点とする正方形を、頂点が全て格子点上にある三角形4つに分割する方法はいくつありますか。
回転や裏返しをして同じ形になるものも区別するものとします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか?
但し、「ループの一部分である」とは、
全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$504$と自然数$x$との最大公約数を$g$, 最小公倍数を$l$とする。$504$の正の約数の個数を$n$としたとき、$g$の正の約数の個数は$\frac{n}{3}$、$l$の正の約数の個数は$\frac{9n}{2}$であった。$x$の素因数が$2,3,5,7$であるとき、$l$の値を求めよ。

解答形式

半角算用数字で答えてください。

$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目を1x2のタイル8枚で敷き詰める方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。