半角で入力してください。 また、必要であればe,πを用いてください。
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p=210−3とおき, 数列an,bnを以下の式で定める. a0=0,a1=1,an+2=2an+1+2an(n=0,1,…)b0=0,b1=1,bn+2=2bn+1+(p+2)bn(n=0,1,…)
(1) an,bnをそれぞれnで表せ. (2) a1024をpで割った余りを求めよ. ただし, 整数mに対してmp≡m(modp)であることを用いてもよい.
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.
x,yを整数とします。次の式を満たすx,yの組(x,y)を全て求めてください。x2y2+3x2y−12xy2−5x2−36xy+25y2+60x+78y=123
xとyの積xyとしてあり得るものの総和を半角で解答してください。
nを一桁の自然数とする。xについての多項式、
∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt
について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。
半角で一桁の数字を入力してください。
勇者は座標平面上の原点 (0,0) にいます. 勇者は点 (6,6) まで x 座標か y 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します.
しかしながら,魔王の罠が直線 y=x+52 上に張られていて,勇者は罠の張られている直線上を通るたびに 1 ダメージずつ受けてしまいます.
勇者が最短距離で移動する道のりは 12C6 通り考えられますが,それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください.ただし,その平均値は互いに素な正整数 a,b を用いて ab と書けるので a+b の値を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
n を正の整数とし、p を素数とする。n! の素因数分解における p の指数を Ep(n!)=∑∞k=1⌊npk⌋ とする。
量 Qn を次のように定義する。 Qn=∑p≤n(np−1−Ep(n!))logp ただし、和は n 以下の全ての素数 p を走り、log は自然対数とする。
次の極限値を求めよ。 limn→∞Qnn
ただし、オイラー・マスケロー二定数を γ とする。
半角で
互いに素な整数の辺 a,b,l(斜辺 l)を持つ直角三角形を考える。内接円の半径を r、周長を L、面積を S とする。 L2=kS (k は正の整数) を満たすとき、 全てのkの値を求めよ。
半角1スペースおきに小さい順に並べてください
p を p≥5 なる素数とする。集合 Gp=1,2,…,p−1 の部分集合 S が自己双対的であるとは、 a∈S⟹a−1(modp)∈Sかつa∈S⟹p−a∈S が全ての a∈S に対して成り立つことと定義する(ここで a−1 は (modp) における a の乗法逆元)。
Np を、Gp の自己双対的な部分集合 S の総数とする(空集合 ∅ も含む)。
Np=32 となるような素数 p (p≥5) をすべて求めよ。
解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください
nを 0 でない実数とします。以下の定積分を求めてください。
答えだけでもいいですが、方針があると嬉しいです。
図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。
四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。 例)523→17.33
100をe進数で表記すると何桁になるか。(整数部分のみ)
半角数字+「桁」という文字(例:1桁)
1000n (n は自然数) の正の約数の個数を Dn とし, そのうち 10n より大きく, 100n より小さいものの個数を Kn とする。 極限値 limn→∞KnDn を求めよ。
電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください.(0.1234567...の場合0.12345と解答する)
本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.
四角形 ABCD と三角形 XYZ は以下の条件を満たします. AD=505,BC=507,AB=CD,∠ABC=60∘,∠DCB=80∘ YZ=1,XY=XZ,∠YXZ=40∘ このとき, 四角形 ABCD の面積は三角形 XYZ の面積の何倍ですか.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記: 若干日本語がおかしかったため編集しました. 解答には影響はないと思われます. 一応ヒント2に元の問題文を残してあります. 以上, よろしくお願いします.