半角で入力してください。 また、必要であればe,πを用いてください。
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$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める. \begin{aligned} &a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\ &b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots) \end{aligned}
(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ. (2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.
$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$
$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。
$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、
$$ \mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}} $$
である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。
必要であれば以下の事実を用いてよい。
・実数 $a,b,c$（ただし $a\neq-64$ ）について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式
$$ 1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2 $$
が成り立つ（これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる）。
ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。 文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。 ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。
nを一桁の自然数とする。xについての多項式、
∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt
について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。
半角で一桁の数字を入力してください。
n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。
量 $Q_n$ を次のように定義する。 $$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$ ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。
次の極限値を求めよ。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$
ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。
半角で
$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、 $$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$ が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する（ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元）。
$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする（空集合 $\emptyset$ も含む）。
$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。
解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください
互いに素な整数の辺 $a,b,l$（斜辺 $l$）を持つ直角三角形を考える。内接円の半径を $r$、周長を $L$、面積を $S$ とする。 $L^2=kS$ ($k$ は正の整数) を満たすとき、 全てのkの値を求めよ。
半角1スペースおきに小さい順に並べてください
$(1)$ 方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ． $(2)$ 不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ．
$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください．
$ｎ$を $0$ でない実数とします。以下の定積分を求めてください。
答えだけでもいいですが、方針があると嬉しいです。
図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。
四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。 例）$\frac{52}{3}$→17.33
100をe進数で表記すると何桁になるか。(整数部分のみ)
半角数字+「桁」という文字(例:1桁)
四角形 $ABCD$ と三角形 $XYZ$ は以下の条件を満たします. $$AD=505, \hspace{1pc} BC=507, \hspace{1pc} AB=CD, \hspace{1pc} \angle ABC=60^\circ, \hspace{1pc} \angle DCB=80^\circ$$ $$YZ=1, \hspace{1pc} XY=XZ, \hspace{1pc} \angle YXZ=40^\circ$$ このとき, 四角形 $ABCD$ の面積は三角形 $XYZ$ の面積の何倍ですか.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記： 若干日本語がおかしかったため編集しました. 解答には影響はないと思われます. 一応ヒント2に元の問題文を残してあります. 以上, よろしくお願いします.
