Triangle T

問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.

$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。

解答形式

$n$の値を半角で入力してください。

数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある．サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み，$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す．
$6$ 回の操作をおこなったとき，点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$ を，$2$ 行目に $b$ を答えよ．

問題文

モニターに0が表示されている。ここには3つのボタンがあり、
・ボタン$A$を押すとモニターの数字が1増える。
・ボタン$B$を押すとモニターの数字が2増える。
・ボタン$C$を押すとモニターの数字が3増える。
ボタン$A～C$をそれぞれ任意の回数押したとき、
最後に表示される数字が300以下の非負の3の倍数となるようなボタンの押し方の総数を求めよ。ただし、ボタンを押す順番は区別しない。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題

次の実数 $a,b,c$ に対し，つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ．

• $p,q$ の連立方程式 $ap+bq=c,\ (b-c)p+(c+a)q=a+7b$ は解を複数個もつ．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

太郎君は遅刻魔で、よく遅刻をする。
それを見かねた先生は、
・3日連続で遅刻したら特別指導
・10日間の間に6回以上遅刻をしたら特別指導
というルールを設けた。このとき、10日間で太郎君が特別指導を受けないよう登校する方法は合計何通りあるか。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題

$(1)$　$4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ．
$(2)$　方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ．

解答形式

$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

$AB=AC=3$ なる $\triangle ABC$ がある．辺 $BC$ の $C$ 側の延長上に，$AD=5$ なる点 $D$ をとる．$\triangle ABD$ の外接円において，$B$ を含まない弧 $AD$ 上に，$DE=4$ なる点 $E$ をとる．直線 $CE$ と $\triangle ABD$ の外接円との交点のうち，$E$ でないものを $F$ としたら，$EF=\dfrac{48}{\sqrt{91}}$ となった．このとき，
$$
BF=\dfrac{a}{b}
$$
である．ただし，$a,b$ は互いに素な自然数である．

$\boldsymbol{\underline{a^{2}+b^{2}}}$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

4x4のマス目を1x2のタイル8枚で敷き詰める方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか?
但し、「ループの一部分である」とは、
全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題

$(1)$　集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$　$3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．

解答形式

命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．