自然数nを用いた素数2^n+5^(n+1)は存在するか。
証明する形式。
Discordでログイン パスワードでログイン
ログインすると？ ログインすると、解答・ギブアップをする他に、問題を投稿したり、ランキングで競うことができます。
または
ログインせずに解答する
この問題を解いた人はこんな問題も解いています
$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式 $x^n - (x-p)^n = p^n$ を考える。 $p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。
何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません
以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。
$$ \left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x $$
ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。
答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。 末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。
例）答えが $-1,8,9,10$ のとき
-1 8 9 10
と解答してください。
$n$を$2025$以下の正整数とする。 ある$n$について、$(n^{2}+n+1)(n^{3}+n^{2}-2n)$がもつ素因数$2$の個数を$d(n)$で表す。 $d(n)=1$となるような$n$の個数を求めよ。
半角数字で入力してください。
$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。
与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030
因数分解された式のみ回答
1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ. (ただしpは素数とする)
(半角の自然数が答え)
整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。
$x \equiv p \pmod{9797}$ $x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$
この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。
半角左詰め
以下の2次方程式 $$ x^{2}-2ax+b=0 ― (*) $$ について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。 $a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 $b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。
(4)は，自作場合の数・確率1-4につづく
2025/01/07追記 解説をアップデート，全員に対して公開に設定
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答 例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。
$p=3, \quad q=5, \quad r=7$
$X = p^q + q^p$ $Y = q^r + r^q$ $Z = r^p + p^r$
$N = X^p + Y^q + Z^r$
このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。
$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。 $P(0)＝6$ $P(1)＝4$ のとき、$P(4)$の値を求めよ。
半角でスペースなし
nを素数、o,kを正の整数とする。
2ⁿ+5⁰=k²
をみたすn,o,kの組(n,o,k)をすべて求めよ。
答えとなるn,o,pの値の総和を回答してください
$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。 すべての整数$ n $に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする $P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。 このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。
半角スペースなし
