200C

Nyarutann 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年7月29日22:46 正解数: 1 / 解答数: 1 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0

問題文

$1$ 以上 $5$ 以下の整数しか項に持たない全 $2025$ 項の数列があり,任意の連続する $3$ 項において以下を満たします.

  • $3$ 項の順番を並び替えることで等差数列になる.

例えば,$1, 1, 1, 1, \ldots$ や $1, 3, 5, 4, \ldots$ は条件を満たします.このような数列は $N$ 個あります.$N$ を素数 $677$ で割った余りを求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.


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・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します.この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください.(電卓の使用を推奨します.)

解答形式

半角数字で解答してください.

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$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また,$f(15)=15$ を満たすとき,$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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$11$ 個の実数 $A_0 , A_1 , \cdots , A_{10} $ が $n=0 , 1 , \cdots , 9$ に対して$$\sum_{k=0}^{10}{A_kk^n}=0$$を満たします. $A_0=1$ のとき, $\sum_{k=0}^{10}{A_kk^{10}}$ の値を求めてください.
ただし, $0^0=1$とします.

解答形式

非負整数を答えてください.

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0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
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ただし、a=0の場合も認めます。

解答形式

互いに素な正整数q,pを用いて
p/q と表せるため、p+qを解答してください。

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問題文

接点・共通領域を持たない円A,Bがあり,これらの中心を通る直線lとの交点をP,Q,R,Sとします.(P≠Q≠R≠S)
 但しP,QがAの円周上,R,SがBの円周上にあり,P,Q,R,Sの順に並ぶとします.

またPS,QRの長さをそれぞれa,bと置きます.

この時A,Bの共通内接線の長さが2025となるような(a,b)の組として考えられるものは何通りありますか.

解答形式

答えだけ(答えが1通りなら"1"だけ)を半角数字で解答して下さい.

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解答形式

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0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許すとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。
(似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)

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互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため
p+qを解答してください。

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正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
$$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$
必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103, 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
を用いてよい。

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解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
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→1 2 3 4 5

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解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。