$x,y$を整数、$p$を素数とする。 $x^2-xy+y^2=2^p$を満たす組$(x,y,p)$をすべて求めよ。
$x+y+p$の値としてありうる値の総和を半角数字で入力してください。
誘導 $(1)$平方数を$3$で割った余りは$0$か$1$であることを示せ。
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$$ p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。 $$
半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。
設問4
数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式 $$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$ を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。
例)ひらがなで入力してください。
設問1
数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。
半角1スペースで答えのみ
円Oが存在して、円O上に点A,B,C,Dをこの順に配置する。角ABD、角DCAそれぞれの二等分線の交点をE、角BAC、角CDBそれぞれの二等分線の交点をF、BDとACの交点をG、△ABG、△DCGそれぞれの内心をI,I’とする。 $$AB=\frac{19}{2},EF=11,△ABI=\frac{19}{2} $$ の時、四角形EIFI’の面積を求めよ。
求める値は互いに素な正整数a,bでa/bと表せるので、a+bを解答してください。
∮(-π/6→π/3) ((sinx)^3)/(sinx+cosx)dxの値を求めよ。
解答は π/a-(√ b+c)/d-(1/e)log(√f+g)の形になります。 a,b,c,d,e,f,gに当てはまる自然数を順に半角で答えてください。 また、1つの値の間は1つずつ空白を開けるようにしてください。 (例)a=2, b=3, c=11,d=5,e=6,f=7,g=8の場合、 2 3 11 5 6 7 8
整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し,次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか.
半角数字で入力してください.
$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする $f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ
解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください
$a>0,b>0$ のとき、 $a^{4}+4a^{3}b+2a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\geq0$ を示せ
記述形式でお願いします 入力がめんどくさい方は、紙に書いて、twitterのDMに送ってください
nを一桁の自然数とする。xについての多項式、
∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt
について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。
半角で一桁の数字を入力してください。
$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、
$$ \mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}} $$
である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。
必要であれば以下の事実を用いてよい。
・実数 $a,b,c$(ただし $a\neq-64$ )について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式
$$ 1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2 $$
が成り立つ(これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる)。
ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。 文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。 ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。
$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。
半角数字で解答して下さい。
次の関数が $|x-a|\leqq 1$ のもとで負の値と素数の値域幅をとるとき,$\sqrt b$ の平均を求めよ.
$100$ 倍した整数部分を半角数字で入力してください.
※ 問題を一部修正しました.今後も手直しが続く可能性があります.