数オリ問8くらいの問題

問題文

$x,y$を整数、$p$を素数とする。
$x^2-xy+y^2=2^p$を満たす組$(x,y,p)$をすべて求めよ。

解答形式

$x+y+p$の値としてありうる値の総和を半角数字で入力してください。

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．

問題文

以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$

このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．

問題文

四角形 $ABCD$ と三角形 $XYZ$ は以下の条件を満たします.
$$AD=505, \hspace{1pc} BC=507, \hspace{1pc} AB=CD, \hspace{1pc} \angle ABC=60^\circ, \hspace{1pc} \angle DCB=80^\circ$$ $$YZ=1, \hspace{1pc} XY=XZ, \hspace{1pc} \angle YXZ=40^\circ$$ このとき, 四角形 $ABCD$ の面積は三角形 $XYZ$ の面積の何倍ですか.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記：
若干日本語がおかしかったため編集しました. 解答には影響はないと思われます.
一応ヒント2に元の問題文を残してあります. 以上, よろしくお願いします.

${}$　西暦2026年問題第6弾です。問題文こそ集合の言葉を使っていますが、そちらは本質ではありません。整数問題としてお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める最小値をそのまま半角で入力してください。
（例）最小値が106 → $\color{blue}{106}$

問題文

ab-3c-d^2 = e …①
3cd+d^2+e^2 = abd …②
a+8+2d = b …③
a+11+e = b+3 …④
を全て満たす自然数の組(a,b,c,d,e)のうち、a+b+c+d+eが最小となるようなものを求めよ。

解答形式

a+b+c+d+e の値を半角数字で

問題文

nを一桁の自然数とする。xについての多項式、

∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt

について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。

解答形式

半角で一桁の数字を入力してください。

問題文

nを4以上1000以下の整数とする。1000以下の正整数の組$(a_1,a_2,…,a_n)$であって、$$a_1=\frac{a_2+a_3+a_4}{3},a_2=\frac{a_3+a_4+a_5}{3},…,a_{n-1}=\frac{a_n+a_1+a_2}{3},a_n=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}$$を満たすものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

３点A(-1,-2),B(2,1),C(𝑝+𝑞,𝑝-𝑞)
に対して実数𝑝,𝑞が
𝑝²+𝑞²+𝑝+𝑞≦3/2を満たすとする。
このとき３点A,B,Cを通る上に凸な二次関数が
存在しないような点Cの取りうる範囲の面積を求めよ。

解答形式

半角で答えのみ。分母に無理数が来る時は有理化し最も簡単な形で解答してください。
回答の際に一文字目に計算記号が来ないようにしてください。
(ダメな例)-2√2+π→(良い例)π-2√2
また掛け算の記号は省略し分数はa/bの形で表すこと。根号→√ 円周率→π ネイピア数→e

問題文

$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、

$$
\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}}
$$

である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。

ヒント

必要であれば以下の事実を用いてよい。

・実数 $a,b,c$（ただし $a\neq-64$ ）について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式

$$
1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2
$$

が成り立つ（これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる）。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。

問題文

$x,y,z$は全て正の実数とします。次式で定義される$f(x,y,z)$について、次の値を求めてください。$$f(x,y,z)=\frac{1+x^2}{y+z}+\frac{1+y^2}{z+x}+\frac{1+z^2}{x+y}$$
$(1)$ $f(x,y,z)$の最小値
$(2)$ $x+y+z=1$のとき、$f(x,y,z)$の最小値
$(3)$ $x^2+y^2+z^2=1$のとき、$f(x,y,z)$の最小値

解答形式

$(1)$の答えは$\fbox ア$、$(2)$の答えは$\fbox イ$、$(3)$の答えは$\fbox ウ\sqrt{\fbox エ}$です。
文字列「アイウエ」を解答してください。

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で