[C] からくり箱
解答
与えられた関数方程式を変型した
$$
f(x)f(y)=(x+y+1)f\left(\frac{x+y+1}{xy}\right)\ \ \cdots(\ast)
$$
に $\displaystyle x=\frac{11}{21},y=\frac{32}{11}$ を代入すると、
$$
\begin{eqnarray}
f\left(\frac{11}{21}\right)f\left(\frac{32}{11}\right)&=&\left(\frac{11}{21}+\frac{32}{11}+1\right) f\left(\frac{\frac{11}{21}+\frac{32}{11}+1}{\frac{11}{21}\times\frac{32}{11}}\right)\\
&=&\frac{1024}{231}f\left(\frac{11^2+32\times21+11\times21}{11\times32}\right)\\
&=&\frac{1024}{231}f\left(\frac{32}{11}\right)
\end{eqnarray}
$$
となるので両辺を $\displaystyle f\left(\frac{32}{11}\right)>0$ で割って $\displaystyle f\left(\frac{11}{21}\right)=\frac{1024}{231}$ である。したがって $\fbox{アイウエ}=1024,\fbox{オカキ}=231$ である。
補足
$x>0$ を任意に選んで固定したとき、$y$ についての方程式 $\displaystyle y=\frac{x+y+1}{xy}$ は（分母を払って整理すると）$y$ の二次方程式で $\displaystyle y=-1,\frac{x+1}{x}$ を解に持つ。よって $(\ast)$ に $\displaystyle y=\frac{x+1}{x}>0$ を代入することで、$\displaystyle f(x)=\frac{(x+1)^2}{x}$ がわかる（上の解答は特に $\displaystyle x=\frac{11}{21}$ としたものである）。このとき
$$
f\left(\frac{x+y+1}{xy}\right)=\frac{f(x)f(y)}{(x+y+1)}=\frac{(x+1)^2(y+1)^2}{xy(x+y+1)}
$$
が任意の $x,y>0$ について成り立つので、$\displaystyle f(x)=\frac{(x+1)^2}{x}$ が問題の条件を満たす唯一の関数であることがわかる。
コメント
ちなみに$\displaystyle \frac{11}{21}=\frac{3+7+1}{3\times7}$ はちょっとした罠で、$x=3,y=7$ を代入しても中々進展しません。
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