TKMC(筑駒MathContest)第5問

問題文

いずれも身長の異なる $6$ 人を複数の列に並べる方法であって，全ての列についてその中で最も身長の低い人が先頭にいるものは何個ありますか．
【中学入試予想 4-3】

問題文

次の条件を満たす正の整数 $x$ の最小値を求めよ. ただし， $v_m (p)$ で整数 $p$ が整数 $m$ で割り切れる最大の回数を表すものとする.

• $2$ 以上の整数 $n$ であって， $v_{n+ v_n(x)}(x) ≠ 0$ となるものの最小値は $12$ である.

問題文

以下の値の正の約数の個数を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{m=0}^{499}\sum_{n=m}^{499}{}_{999}\mathrm{C}_{499-n}\cdot{}_{n+m}\mathrm{C}_{n-m}\cdot4^m$$
【TKMC 8】

問題文

$7$ 以下の非負整数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_{11})$ であって，以下を満たすものの個数を求めてください．

• $a_1=a_{11}=1$
• $i=1,2,\ldots,10$ について $a_i+a_{i+1}$ は奇素数．

【TKMC 3】

問題文

$a_1=1$ および以下を満たす数列 $\lbrace a_n\rbrace$ について，$a_{10000}$ を求めてください。

• $a_n=a_m+2m-1$ を満たす正の整数が存在するなら $a_{n+1}=a_n+2$ ，そうでないなら$a_{n+1}=a_n+1$

【TMO 9】

問題文

正の整数 $x$ について $x$ と互いに素な $x$ 以下の正の整数の個数を $\varphi(x)$ と表します．このとき，以下の値が収束することが保証されるのでこの値を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\varphi(n)}{1.1^n-1}$$
【TMO 7】

問題文

正の整数 $x$ についてその正の約数の個数を $d(x)$ と表します．このとき，以下の値がいずれも整数となるような正の奇数 $n$ と素数 $p$ の組全てについて $np$ の総和を求めてください．
$$\sqrt{\dfrac{n-61}{d(n)}}，\dfrac{d(n+p)^2+9}{d(n)d(d(n))}，\dfrac{2^np}{d(d(n))}$$
【TKMC 7】

11/02 18:38追記
一番左の条件をコンテストの元の問題文に戻しました。

問題文

以下の値の整数部分を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{n=0}^{44} \dfrac1{\cos n^\circ\cos (n+1)^\circ}$$
【TMO 5】

問題

鋭角三角形 $ABC$ について， $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし，線分 $AD$ の中点を $M$ とする. 辺 $AC$ 上に点 $E$ を $\angle CDE=\angle BAD$ となるようにとり，辺 $AB$ 上に点 $F$ を $FM \parallel DE$ となるようにとる. また三角形 $AFM$ の外接円を $ω_1$ とし，$F$ とともに $ω_1$ の直径をなす点を $G$ とする. 直線 $GB$ と直線 $ED$ の交点を $H$ とすると，$\angle GCH=2\angle BAD$ が成り立った. そして三角形 $GCH$ の外接円を $ω_2$ とし，$ω_2$ 上に直線 $AD$ に関して $B$ と反対側に $I$ をとると，$\angle BFD=\angle DMI,\angle IGB=\angle ABC$ がともに成り立った. このとき $\lfloor 10^6\cos \angle ABC \rfloor$ を求めよ.

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $x^3+y^3+z^3+3xyz=1$ を満たすとき，$2x^3+3y^3+36z^3$ の最小値の最小多項式 $f$ について $f(36)$ の値を解答してください．
【TKMC 4】

問題文

鋭角三角形 $ABC$ において，$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，$H$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $D$ とする. また三角形 $ABC,AHD$ の外接円をそれぞれ順に $Γ,ω$ とし，$Γ$ と $ω$ の交点であって $A$ とは異なるものがあったのでこれを $X$ とし，三角形 $BCD$ の外心を $O$ とすると，以下が成り立った.
$$HX=5,HD=3,XO=7$$
　このとき線分 $BD$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b}}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めよ.

問題文

$0\leq i\leq j\leq 1000$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される組からなる集合 $S$ であって，以下の条件をすべてみたすものの個数を求めてください．

• $(1000,1000)\in S$ ．
• $0\leq k\leq 1000$ なる整数 $k$ であって $(0,k)\in S$ であるものはちょうど $2$ 個存在する．
• $0\leq x \leq y \leq 999$ なる任意の整数 $x,y$ に対し，集合
  $$S\cap\big\lbrace (x,y),(x,y+1),(x+1,y+1)\big\rbrace$$
  の要素は偶数個である．

【TMO 8】