求値問題5

問題文

4次関数のグラフ$C:y=f(x)$は2つの変曲点$\mathrm{P},\mathrm{Q}$をもち、1本の複接線が引けて、異なる2点$\mathrm{A}(\alpha,f(\alpha)),\mathrm{B}(\beta,f(\beta))$が接点となる。また$f(x)$の4次の係数は1である。このとき、$\displaystyle\frac{d^3}{dx^3}f(x)=0$の解を$x=\gamma$、$\mathrm{C}(\gamma,f(\gamma))$、複接線を$l_1$、直線$\mathrm{PQ}$を$l_2$、$C$上の点$\mathrm{C}$における接線を$l_3$、$l_2$と$C$の交点のうち$\mathrm{P},\mathrm{Q}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{R},\mathrm{S}$、$l_3$と$C$の交点のうち$\mathrm{C}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{D},\mathrm{E}$とおく。ただし$x$座標について、$\mathrm{A}$より$\mathrm{B}$、$\mathrm{P}$より$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$より$\mathrm{S}$、$\mathrm{D}$より$\mathrm{E}$の方が大きいとする。

(1)直線$l_1,l_2,l_3$は互いに平行であることを示せ。

(2)線分長の2乗比$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2$を求めよ。

(3)線分長の2乗比$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2$を求めよ。

(4)直線$l_2$と$C$で囲まれる部分の面積$S$を$\alpha,\beta$で表わせ。

解答形式

(2),(3),(4)の答えはそれぞれ一桁の自然数a,b,c,d,e,f,g,h,i,jを用いて以下のように表されます。
センター、共通テスト形式で埋め、10桁の自然数abcdefghijを答えてください。
$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2=a:b$
$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2=c:d$
$S=\displaystyle\frac{e\sqrt{f}}{ghi}(\beta-\alpha)^j$

問題文

以下の漸化式で与えられる数列${a_n},{b_n}$を考える。ただし、$n$は非負整数であるとし、${a_n}$の初項は$a_0=1$とする。
$\displaystyle a_{n+1}=\sum_{k=0}^na_ka_{n-k} , \displaystyle b_{n+1}=\sum_{k=0}^n (k+1)a_ka_{n-k}$
(1)$b_n$を$a_n$で表わせ。
(2)$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}a_n$を証明せよ。
(3)それぞれの数列の一般項$a_n,b_n$を求めよ。
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$を求めよ。ただし$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+1)}{n}=0$を証明無しで用いても良い。

解答形式

(4)の答えを半角数字またはTeXで入力してください。
(1)~(3)についてはお手持ちの紙に解答し、解説を確認ください。

問題文

$P$ を $n\times n$ 行列とする。$P$ の第 $(i, j)$ 成分と第 $(n-i+1, n-j+1)$ 成分がつねに一致するとき，$P$ を点対称行列と呼ぶことにする。例えば $n=4$ なら，$P$ は一般に

$$
P=\begin{pmatrix} a & b & h & g \\ c & d & f & e \\ e & f & d & c \\ g& h & b & a \end{pmatrix}
$$

という形をしている。$E'$ を $4\times 4$ の単位行列とし，$4\times 4$ 行列 $J'$ を

$$
J'=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

で定義する。

(1) 一般の $4\times 4$ 行列 $X$ に対して，$XJ'$ の $(\fbox{ア},\fbox{イ})$ 成分と $X$ の $(1,2)$ 成分は一致する。また，$J'X$ の $(\fbox{ウ},\fbox{エ})$ 成分と $X$ の $(1,2)$ 成分は一致する。よって， $4\times 4$ 行列 $P$ が点対称行列であることは，$J'PJ'=P$ が成り立つことと同値である。

(2) $E$ を $2\times 2$ の単位行列とし，$2\times 2$ 行列 $J$ を

$$
J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
$$

で定義する。$4\times 4$ 点対称行列 $P$ が，ある $2\times 2$ 行列 $A,B,C,D$ を用いて

$$
P=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
$$

と表せたとする。(1) と同様の考察より，$D=JAJ, B=JCJ$ である。$4\times 4$ 行列 $Q$ を

$$
Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} E & -J \\ J & E \end{pmatrix}
$$

で定めると，$Q^{\rm T}Q=\fbox{オ}$ であり

$$
Q^{\rm T}PQ=\begin{pmatrix} \fbox{カ}+\fbox{キク} & \fbox{ケ} \\ \fbox{コ} & \fbox{サシス}-\fbox{セソ} \end{pmatrix}
$$

が成り立つ。

(3) $p$ を実定数とする。(2) の結果を利用して，行列

$$
P=\begin{pmatrix} 0 & p & 0 & 1-p \\ 0 & p^2 & 1-p & p(1-p) \\ p(1-p) & 1-p & p^2 & 0 \\ 1-p & 0 & p & 0 \end{pmatrix}
$$

の固有値を求めよう。$p=\cfrac{13}{15}$ のとき，$P$ の固有値は大きい順に

$$
\fbox{タ}, \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}, \frac{\fbox{テ}}{\fbox{トナ}}, \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌネノ}}
$$

である。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ノ}$ には，半角数字 0 - 9 ，記号 - ，4×4行列 E', J' ，2×2行列 E, J, A, C, O のいずれかが当てはまります（B, Dを使って解答することはできません。O は零行列を表します）。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ノ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

問題文

次の文章の空欄を埋めてください。ただし、以下の文章全てにおいて$x>0$とします。
$(1.1)$
$f(x)=x+4x^{-2}$の最小値を、微分を用いて求めよう。まず、
$$f'(x)=\fbox ア-\frac{\fbox イ}{x^3}$$である。$f'(x)$の符号は$x=\fbox ウ$の前後でのみ変化するから、$f(x)$は$x=\fbox ウ$で極値をとり、さらにそれが最小値であることが分かる。したがって、$f(x)$の最小値は$\fbox エ$である。

この問題は$(1.2)$に示すような解法が知られている。

$(1.2)$
相加相乗平均の関係式を用いて$f(x)$の最小値を求める。$a_1+a_2=1$を満たす$0$以上の実数$a_1,a_2$を用いて、
$$f(x)=a_1x+a_2x+\frac{4}{x^2}\ge3\left(a_1x\cdot a_2x\cdot\frac{4}{x^2}\right)^{\frac 13}=3(4a_1a_2)^{\frac 13}$$とする。いかなる$a_1,a_2$の組に対してもこの不等式は成立する。一方で、等号を成立させる$x$が存在するには、$a_1x=a_2x$でなければならないから、$a_1=a_2$となる。このとき、等号成立条件
$$a_1x=a_2x=\frac{4}{x^2}$$を満たす$x$は存在して、その値は$x=\fbox ウ$で、不等式の右辺の値は$\fbox エ$となり、最小値が得られる。

$(2)$
$g(x)=x+3x^{-1}+x^{-2}$の最小値を、$(1.2)$の解法に準じて求めよう。
$(1.2)$中の議論と同様に、等号成立条件を考えれば、同類項の係数（前問では$a_1,a_2$にあたる）が異なってはならないと言える。したがって、$3$つの自然数$b_1,b_2,b_3$を用いて、$$g(x)=b_1\cdot \frac{x}{b_1}+b_2\cdot\frac{3}{b_2x}+b_3\cdot\frac{1}{b_3x^2}$$と考えることにする（即ち、$b_1$個の$x/b_1$、$b_2$個の$3/b_2x$、$b_3$個の$1/b_3x^2$の和と考える）。相加相乗平均の関係式を適用したときに、累乗根の中身が定数となるには、$b_1=\fbox オb_2+\fbox カb_3$であればよい。等号成立条件は$$\frac{x}{b_1}=\frac{3}{b_2x}=\frac{1}{b_3x^2}$$である。中辺と最右辺の等式から、$x=b_2/(3b_3)$であり、これと最左辺・最右辺の等式から、$$\frac{b_2}{3b_3\left(\fbox オb_2+\fbox カb_3\right)}=\frac{9b_3}{b_2^2}$$整理して、$$b_2^3-\fbox{キク}b_2b_3^2-\fbox{ケコ}b_3^3=0$$この式を解くと、$b_2/b_3=\fbox サ/\fbox シ$を得られるので、$b_1:b_2:b_3=\fbox ス:\fbox セ:\fbox ソ$であれば良いことが分かる。これより、$$g(x)\ge\left(b_1+b_2+b_3\right)\left(\left(\frac{x}{b_1}\right)^{b_1}\left(\frac{3}{b_2x}\right)^{b_2}\left(\frac{1}{b_3x^2}\right)^{b_3}\right)^{\frac{1}{b_1+b_2+b_3}}=\frac{\fbox{タチ}}{\fbox ツ}$$であり、$x=\fbox テ$で等号が成立して、最小値となる。

解答形式（要注意!）

以下のこと（特に2つ目）に注意して解答してください。

・$\fbox ア～\fbox テ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。
・式の係数・分母の空欄$\left(\fbox オ・\fbox カ・\fbox シ・\fbox ツ\right)$には$1$が入る可能性もあります。
・$\fbox ス～\fbox ソ$は、$\fbox ス+\fbox セ+\fbox ソ$が最小となるようにしてください。また、分数は既約分数にしてください。

文字列アイウエを$1$行目
文字列オカキクケコを$2$行目
文字列サシスセソを$3$行目
文字列タチツテを$4$行目
に入力して解答してください。

問題文

$k$を$0$以上の実数, $e$を自然対数の底とする。数列$a_n$を
$$a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+k}}$$
と定める。任意の自然数$n$に対して, $a_{n+1} < a_n$が成り立つような最小の$k$を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。

問題文

$a>0$ を定数とする。$t\geq0$ で定義された実数値関数 $x(t)$ について、以下の微分方程式の初期値問題を考える:

$$
\begin{cases}
\displaystyle x''(t)=-\frac{x(t)}{(1+\lbrace x(t) \rbrace^2)^2} \ \ \ (t\geq0)\\
\displaystyle x(0)=\frac{\sqrt2}{4}, \ x'(0)=a
\end{cases}
$$

（１）$\displaystyle \lim_{t \to +\infty}x(t)=+\infty$ となる $a$ の範囲は、$\displaystyle a \geq \frac {\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イ}}}{\fbox{ウ}}$ である。
（２）$\displaystyle a = \frac {\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イ}}}{\fbox{ウ}}$ のとき、$\displaystyle x(t)=\frac{3}{4}$ となる $t$ の値は $\displaystyle t = \frac {\fbox{エ}}{\fbox{オカ}}+\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}\log2$ である。ただし $\log$ は自然対数とする。

解答形式

ア〜クには、0から9までの数字が入る。同じ文字の空欄には同じ数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「エオカキク」を半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、根号の中身が最小になるように答えよ。

問題文

$\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{9}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{5}{9}\pi}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{7}{9}\pi}=-\dfrac{a}{b}$ ( $a,b$ は互いに素な自然数)である．

$a+b$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください。

簡単です．教科書にもありそうなつまらない問題ですが，一応2通りの解法を用意しているので，考えていただけたら幸いです．

問題文

片面が黒色、もう片面が白色のオセロが一直線に$N$個並んでいる。1秒経過するごとに，$N$個のオセロから無作為に1つ選び裏返す。

時刻$t(\geq0)$における黒色のオセロの個数を$A_N(t)$で表すとする。$A_4(0)=2$のとき$A_4(2)=2$となる条件付き確率を$P_1$，$A_8(0)=2$のとき$A_8(3)=3$となる条件付き確率を$P_2$とすると，
$$
P_1=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},~~~~P_2=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}
$$である.

時刻$t(\geq0)$における$A_N(t)$の期待値を$\mu_N(t)$とすると，以下の漸化式が成立する。
$$
\mu_N(t+1)=\left(\fbox{オ}-\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\right)\mu_N(t)+\fbox{ク}
$$これより，
$$
\lim_{t\to\infty}\mu_{50}(t)=\fbox{ケ}
$$となる。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$〜$\fbox{ク}$には，自然数あるいは N が入る。それぞれに当てはまる数字もしくはアルファベットを改行区切りで入力せよ。なお，分数はこれ以上約分できない形にすること。

問題文

関数 $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ は $C^2$級で、任意の $x>0$ に対して

$$
f(1)=1,\ \ f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x},\ \ \frac{d^2}{dx^2} f(x)\leq 0,\ \ \frac{d^2}{dx^2} \left( \frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)} \right) \leq 0
$$

をすべて満たすとする。このような $f$ に対し

$$
I [f]=\int_{\frac{1}{2}}^{2}f(x)dx
$$

を考える。

（１）$I[f]$ の最大値は $\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$ である。
（２）$I[f]$ の最小値は $\fbox{オ}-\fbox{カ}\log\fbox{キ}$ である。ただし $\log$ は自然対数である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「オカキ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、対数の中身が最小となるように答えよ。

問題文

$N$ を正の整数、$c>0$ を定数とする。実数の組 $(t_1,t_2,\ldots,t_N)$ に対して関数

$$
f_n(t_1,t_2,\ldots,t_N)=t_n(1-t_n)\left(c(1+t_n)-\sum_{i=1}^{N}t_i\right) \ \ \ (n=1,2,\ldots ,N)
$$

を考える。また、$N\times N$ 行列 $J(t_1,t_2,\ldots,t_N)$ を

$$
J(t_1,t_2,\ldots,t_N) =
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial t_N} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_N}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial t_N}
\end{array}\right)
$$

と定義する。

$N=1000,\ \displaystyle{c=\frac{1000}{1.23}}$ として、以下の問いに答えよ。

（１）$1000$個の実数の組 $(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})$ であって、$x_1\leq x_2 \leq \ldots \leq x_{1000} $ かつ

$$
f_n(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})=0\ \ \ (n=1,2,\ldots ,1000)
$$

を満たすものはいくつあるか。

（２）（１）で考えた組のうち、$J(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})$ の固有値の実部がすべて負であるようなものはいくつあるか。

解答形式

（１）の答えを半角数字で1行目に入力せよ。
（２）の答えを半角数字で2行目に入力せよ。

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

ある正整数 $n$ は以下の条件を満たしました．

• 異なる素因数をちょうど $3$ つもつ．
• $n$ の素因数を小さい順に $p_{1},p_{2},p_{3}$ とすると，$\displaystyle\frac{n+1}{p_{1}+1},\displaystyle\frac{n+1}{p_{2}+1},\displaystyle\frac{n+1}{p_{3}+1}$ が整数になる．

このとき，$n$ の最小値を求めてください．

解答形式

半角数字で正整数で答えてください．

追記:答えを訂正しました．miq氏にはご迷惑をおかけして申し訳ありません．