$a_1=1,na_{n+1}-2(n+2)a_n=(n+1)(n(n+2)+2^{n+1})$を満たす数列${a_n}$の一般項を求めよ。
一般項は一桁の自然数$a,b,c,d$を用いて、$a_n=(an^2+n-b)c^{n-1}-n(n+d)$と表されるので、$abcd$を解答してください。
例 $(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$→$1234$を入力
何かで割って階差型に帰着できないか試してみましょう。
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2曲線 $ \begin{cases} y=2x^3+10x^2+12x+7 \newline y=x^2+5x+13 \end{cases} $ で囲まれる部分の面積$S$を求めよ。
答えは $\displaystyle\frac{[abc]}{[de]}$ という形になります。($a,b,c,d,e$は1桁の自然数) センター、共通テスト方式で答えてください。 例: $S=\displaystyle\frac{765}{13}$のときは「76513」と入力する。
正方形の中に図のように線を引きました。赤、青の線分の長さがそれぞれ1,7のとき、緑の線分の長さを求めてください。
半角数字で解答してください。
数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、 $$ a_1=1,\ a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n}\frac{8k-3}{4n^2-1}a_k\ (n = 1,2,...) $$
で定める。$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_{n}}$ を求めよ。
求める極限値は、ある有理数 $q$ を用いて $q \pi$ と表せる。この $q$ を小数で表し、小数第4位を四捨五入したものを入力せよ。すべて半角数字で入力すること。なお、もし $3/2=1.5$のようになる場合は、$1.500$ と入力せよ。
3辺がそれぞれ3,√2,√10である不等辺三角形から成る等面四面体𝑋が存在する。三角形の面積を𝑝、𝑋に内接する球体の半径を𝑞とするとき、𝑞を𝑝を用いて表せ。
𝑞=√a/b𝑝となります。 a+bを半角で答えてください
次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。 $$ 2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220 $$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。
三角形の3つの内角の大きさを$A,B,C$とします。このとき、次の式の最小値を求めてください。 $$ \frac{1-\cos A}{\cos B+\cos C}+\frac{1-\cos B}{\cos C+\cos A}+\frac{1-\cos C}{\cos A+\cos B} $$
最小値は$\frac {[ア]}{[イ]}$となります。$[ア]+[イ]$を解答してください。 ただし、$[ア],[イ]$にはそれぞれ自然数が入り、その最大公約数は$1$とします。
実数$x$の方程式$3\sqrt{x+1-4\sqrt{x-3}}=x-1$を解け。
半角数字、またはTexで解答してください。$x=$は書かなくて良いです。
$f(x)=x^3+7x+6$の値が63の倍数になるような2桁の自然数$x$をすべて求めよ。
解1つごとに改行して上から小さい順に半角数字で入力してください。$x=$は書かなくて良いです。
すべての複素数に対して定義され、複素数の値をとる関数 $f(z)$ は、すべての複素数 $z,w$ について
$$ f(z+w)=f(z)f(w)+zw ...(*) $$
をみたすとする。以下の問いに答えよ。
⑴ すべての複素数 $z$ について $f(2)f(z)+z = f(1)f(z+1)+1$ が成り立つことを示せ。 ⑵ $(*)$ をみたすような $f(z)$ をすべて求めよ。
⑵を解答したうえで、以下の空欄ア~エに当てはまる0~9の整数を順に並べて4桁の半角数字「アイウエ」を入力せよ。根号の中身が最小になるように解答せよ。
$|f(5+11i)|$ のとりうる値のうち最大のものは$(アイ)$, 最小のものは$(ウ)\sqrt{(エ)}$ である。
図のように3つの正方形が配置されています。3つの線分の長さが図のように与えられたとき、緑の六角形の面積を求めてください。
面積は、 $$ \fbox{アイ}+\frac{\fbox{ウエ}\sqrt{\fbox{オカ}}}{\fbox{キ}} $$ となります。$\fbox ア~\fbox キ$には0以上9以下の整数が入ります。文字列「アイウエオカキ」を解答してください(「」は不要)。ただし、根号の中身や分数は最も簡単な形にしてください。
例$$ 面積S=17+\frac{22\sqrt{52}}{8}\rightarrow 17+\frac{11\sqrt{13}}{2}\rightarrow 1711132 と解答 $$
正方形が2つ、図のように配置されています。赤い線分の長さが20のとき、緑で示した四角形の面積を求めてください。 ただし、図中の青点はそれぞれの正方形の対角線の交点です。
長方形・正方形・円が図のように配置されています。赤で示した線分の長さが7、長方形の面積が12のとき、青い線分の長さとしてあり得るものを全て求めてください。
解答は$\sqrt{\fbox {アイ}},\frac{\sqrt{\fbox{ウエオ}}}{\fbox カ}$となります。文字列「アイウエオカ」を解答してください。ただし、根号の中身が平方数の倍数とならないように解答してください。