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問題文
$65537=2^{16}+1$ が素数かどうか、計算機を使わずに判定したい。以下では $p$ を3以上の素数として、⑴から⑸の問いに答えよ。
⑴ $2^p$ を $p$ で割ったあまりは $p$ によらないことを示し、その値を求めよ。
⑵ $65537$ が $p$ で割り切れるとき、$2^n$ を $p$ で割ったあまりが $1$ になるような最小の自然数 $n$ を求めよ。
⑶ $65537$ が $p$ で割り切れるとき、$p$ を $32$ で割ったあまりとしてあり得る値をすべて求めよ。
⑷ $ p < \sqrt{65537}$ をみたす $p$ であって、$p$ を $32$ で割ったあまりが⑶で求めた数になるようなものをすべて求めよ。
⑸ 以上の結果から、$65537$ が素数かどうか判定せよ。
解答形式
以下の指示に従って、すべて半角数字で入力せよ。
⑴から⑷までの答えはいずれも非負整数である。
⑴の答えを1行目に入力せよ。
⑵の答えを2行目に入力せよ。
⑶の答えは1つずつ改行して3,4,......i 行目に小さい順に入力せよ。
⑷の答えも1つずつ改行してi+1,i+2, ......j行目に小さい順に入力せよ。
最後に⑸の答えとして、$65537$ が素数であれば1を、そうでなければ0を入力せよ。
20/06/19: 解答の一部にミスがあったため修正しました。
問題文
ある二つの自然数a,bは積が和より1000大きくどちらかが立方数だった
この時a,bの組を全て求めよ
解答形式
a<bとした時のaを小さい順に半角数字で解答せよ
例 (4,7)(8,91)の時は48
問題文
AさんBさんの二人の人がいる
この時サイコロをAさんが投げる
1.2.3が出たら次回は次の人がサイコロを投げる
4.5が出たら次回も同じ人が投げる
6が出たら勝利である
N回目でAが勝利する確率を求めよ
解答形式
Nについての式を求めよ
問題文
2つのパラメーター(0,0)
がある
一回の操作でどちらかの数字を1増やすか減らすかする
それぞれ1/4の確率で起こる
この時操作をした回数が2n(nは自然数)の時パラメーターが(0,0)になる確率はnが大きければ大きいほど低くなることを証明せよ
解答形式
証明形式
問題文
正の整数$a, b$ $(a<b)$ が与えられます。 $k$の正の約数の総和を$S_k$とするとき, $S_a+S_{a+1}+S_{a+2}+…+S_{b}$の値を求めてください。
解答形式
$(a,b)=(1,10^7), (a,b)=(3141592,6535897)$のときの答えを $\bf{100}$で割った余り をそれぞれ1行目, 2行目に半角数字で入力してください。
例
-
$(a,b)=(3,5)$
3の正の約数は1,3なので, $S_3=1+3=4$
4の正の約数は1,2,4なので, $S_4=1+2+4=7$
5の正の約数は1,5なので, $S_5=1+5=6$
よって, $S_3+S_4+S_5=4+7+6=17$ です。
解答は, $17$を$100$で割った余りなので, $17$になります。 -
$(a,b)=(100,999)$
解答は$59$です。
問題文
同じ色の線分は同じ長さです。
∠Ｘの大きさを求めてください。
青と黄、赤と黄緑の線分が重なって一部見づらくなっています。m(__)m
解答形式
度数法で、0~360の数字を半角で入力してください。
例:∠Ｘ＝30° → 30
「度」や"°"をつけずに回答してください。
問題文
$a=e^{2AX},c=e^{2CX}$(Xは正の定数，A，Cは実数)とする．
$f(x)=-a\log_e(x+c)+X$とする．$y=f(x)$の$y$切片を点P，
$y=f(x)$と点$(0,X)$で接する接線$l$と$y$軸とが成す角を
$\theta\;(\theta\mbox{は}0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\mbox{を満たす実数})$，$y=f(x)$の$x$切片を点Qとする．
$\tan\dfrac{\theta}{2}$をネイピア数$e$を用いて表せ．
また，点Qの$x$座標が正の無限大に大きくなるとき，$\tan\dfrac{\theta}{2}$の値の極限値を求めよ．
解答形式
記述式解答を求む．(直感で答えが出る可能性があるので)
問題文
相異なる正の整数$a, b,c, d,k$が
$$a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = k$$
を満たすものとします。$k$の最小値を求めてください。
解答形式
半角数字で回答してください。
備考
- 6/10 14:26 問題文を「非負整数」→「正の整数」に修正しました。
問題文
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解答形式
半角で回答してください。
問題文
$n$を2以上の整数とし, $f(x)=\sqrt[n]{x^n+nx^{n-1}} (x\geq0)$を考える。
$(1)$ $x$を正の整数とするとき, $f(x)$の値が整数でないことを示せ。
$(2)$ $y=f(x)$, $x$軸, $x=m-1$ ($m$は正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。
解答形式
$(2)$ で $m=100$ のときの答えを半角数字で入力してください。