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問題文
実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。
⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。
⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。
$$
x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a\left(x-\frac{1}{a}\right)^2
$$
⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。
解答形式
⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、
$$
x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}}
$$
の形である。ア～カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。
ア～カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。
たとえばア＝２、イ＝７、ウ＝３、エ＝５、オ＝８、カ＝$a$ と解答する場合は、
「27358a」と入力せよ。
問題文
| ある | なし |
|---|---|
| かめ | つる |
| うし | ぶた |
| ねこ | いぬ |
解答形式
「へび」「くらげ」がそれぞれ「ある」「なし」のどちらであるかを、それぞれ一行目・二行目に答えてください。
それぞれの行は ある なし のいずれかで答えてください。
問題文
この曲は何でしょう。
ﾃﾞｨﾘﾝﾘﾘﾝﾘﾘﾝﾘﾘﾝﾘﾝﾘﾝ ﾃﾞｨﾘﾝﾘﾘﾝﾘﾘﾝﾘﾘﾝﾘﾝﾘﾝ
ﾃﾞｨ↑ ｰｰｰｰﾃﾞｨ↓ｰｰｰｰﾃﾞｨ↑ｰｰﾃﾞｨｯ↑ﾃﾞｨ↓ｰｰｰ
ﾃﾞｨ↑ ｰｰｰｰﾃﾞｨ↓ｰｰｰｰﾃﾞｨ↑ｰｰﾃﾞｨｯ↑ﾃﾞｨ↓ｰｰｰ
ﾃﾞｨｰｯﾃﾞｨｯﾃﾞｨｰｰ (ｳﾝ) ﾃﾞｨｰｯﾃﾞｨｯﾃﾞｨｰｰ
解答形式
ひらがなで入力してください。（4文字）
問題文
非負整数$n$に対し関数$f$を次のように定める。
$$f(n) = \frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$$
$1$から$2020$までの整数について$f(n)$が整数となるような$n$の個数を求めよ。
解答形式
半角数字で入力せよ。
問題文
$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて $50629$ を素因数分解せよ。
解答形式
50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。
問題
(1) 定積分
$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$
の値を求めよ。
(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を
$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$
で定める。定積分
$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$
の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。
備考
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。
問題文
この曲は何でしょう
ﾃﾞﾚﾃﾞﾃﾞｰﾃﾞﾚｰﾃﾞﾃﾞﾚﾃﾞﾚﾃﾞﾚ
ﾃﾞﾚﾃﾞﾃﾞｰﾃﾞﾚｰﾃﾞﾃﾞﾚﾃﾞﾚﾃﾞﾚ
ﾃﾞﾚﾃﾞﾃﾞｰﾃﾞﾚｰﾃﾞﾃﾞﾚﾃﾞﾚﾃﾞﾚ
ﾃﾞﾚﾃﾞﾃﾞｰﾃﾞﾚｰﾃﾞﾃﾞﾚﾃﾞﾚﾃﾞﾚ
ﾃﾞﾚﾃﾞﾃﾞｰﾃﾞﾚｰﾃﾞﾃﾞﾚﾃﾞﾚﾃﾞﾚ
ﾃﾞﾚﾃﾞﾃﾞｰﾃﾞﾚｰﾃﾞﾃﾞﾚﾃﾞﾚﾃﾞﾚ
ﾃﾞﾚﾃﾞﾃﾞｰﾃﾞﾚｰﾃﾞﾃﾞﾚﾃﾞﾚﾃﾞﾚ
ﾃﾞﾚﾃﾞﾃﾞｰﾃﾞﾚｰﾃﾞﾃﾞﾚﾃﾞﾚﾃﾞﾚ
解答形式
ひらがなで入力してください。（6文字）