全問題一覧
公開日時: 2024年6月9日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
一辺の長さが $4$ の正三角形 $ABC$ について，$BC$ の中点を $M$ とし，線分 $BC$ 上に $BD=1$ なる点 $D$ をとります．$3$ 点 $ABD$ を通る円と$3$ 点 $ACM$ を通る円との交点を $X$ とするとき，$AX$ の長さの $2$ 乗を求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
公開日時: 2024年6月9日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
三角形 $ABC$ について，$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$，円 $ABD$ と $AC$ の交点を $E$，円 $BEC$ と $AB$ の交点を $F$ とし，$AD$ と $FC$ の交点を $P$ とするとき，$AF=2, AC=3, PE=1$ が成立しました．$AB$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
公開日時: 2024年6月9日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
半径が $4$ の円 $\Omega$ 上に2点 $A, B$ を直径をなさないようにとり，$A, B$ における $\Omega$ の接線の交点を $C$ とします．三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，3点 $A, C, H$ を通る円と $\Omega$ の交点を $D$ とすれば，$AB=CD$ が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．
追記：$D\neq A$ とします．
解答形式
半角数字で解答してください．
公開日時: 2024年6月8日13:11 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$
解答形式
非負整数を半角で入力してください．
公開日時: 2024年6月7日20:33 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
整数問題
問題文
正整数 $N$ が 素直 であるとは以下の条件をともに満たすことを言います．
- $N$ は十進法表記で $6$ 桁であり，各桁に $0$ も $9$ も含まない数である．
- $N$ の上 $i$ 桁目を $a_i$ とするとき，「$a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_6$」もしくは「$a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_6$」のいずれかが成り立つ．
素直な整数の総和を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2024年6月1日15:02 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
赤い音符と青い音符の二種類の音符を横に並べたものを譜面と呼びます．
以下の条件を同時に全て満たすような譜面がいくつあるかを求めてください．
- その譜面の赤い音符と青い音符の合計はちょうど $17$ 個である．
- その譜面の最も左の音符は赤い音符である．
- その譜面の左から $2$ 番目の音符は青い音符である．
- その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
「赤い音符，青い音符，赤い音符」にならない - その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
「青い音符，赤い音符，青い音符」にならない
解答形式
非負整数を半角数字で入力し解答してください。