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$n$ を正の整数とする．縦 $3$ 行，横 $3$ 列からなるマス目の各マスに $n,n+1,\ldots,n+8$ を重複なく書き入れる方法であって，以下を満たすものの数を $f(n)$ とします．
- どの列，どの行についてもその $3$ つに書かれている $3$ 数を $3$ 辺の長さに持つ三角形が存在する．
ただし，回転や反転によって一致する数の書き込み方は，区別するものとします．$f(n)\lt3\times10^5$ を満たすとき，$f(n)$ としてあり得る最大の値を解答してください．
問題文
問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.
問題文
こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。
正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.
解答形式
答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ の線分 $AB$ 上に点 $D$, 線分 $DC$ 上に点 $E$, 線分 $AC$ 上に点 $F$ を取ったところ, 以下が成立しました.
・ $\angle AED = \angle ABE = \angle EFC = 60^\circ$
・ $\angle EAC = 19^\circ$
・$DF = CF$
このとき, $\angle EBC$ の大きさは, 度数法で $N^\circ$ と表されるため, $N$ を解答してください.
解答形式
答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.
【補助線主体の図形問題 #126】
今週の図形問題です。隙あらば暗算で処理できる程度の問題を好んで出題しているのですが、今回は暗算処理は厳しいかもしれません。紙＆ペンをご用意の上、挑戦していただければと思います。
解答形式
${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
問題
整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．
- ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は，辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である．
解答形式
半角数字で入力してください．
問題文
関数 $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ は $C^2$級で、任意の $x>0$ に対して
$$
f(1)=1,\ \ f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x},\ \ \frac{d^2}{dx^2} f(x)\leq 0,\ \ \frac{d^2}{dx^2} \left( \frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)} \right) \leq 0
$$
をすべて満たすとする。このような $f$ に対し
$$
I [f]=\int_{\frac{1}{2}}^{2}f(x)dx
$$
を考える。
（１）$I[f]$ の最大値は $\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$ である。
（２）$I[f]$ の最小値は $\fbox{オ}-\fbox{カ}\log\fbox{キ}$ である。ただし $\log$ は自然対数である。
解答形式
ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「オカキ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、対数の中身が最小となるように答えよ。
問題文
$N$ を正の整数、$c>0$ を定数とする。実数の組 $(t_1,t_2,\ldots,t_N)$ に対して関数
$$
f_n(t_1,t_2,\ldots,t_N)=t_n(1-t_n)\left(c(1+t_n)-\sum_{i=1}^{N}t_i\right) \ \ \ (n=1,2,\ldots ,N)
$$
を考える。また、$N\times N$ 行列 $J(t_1,t_2,\ldots,t_N)$ を
$$
J(t_1,t_2,\ldots,t_N) =
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial t_N} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_N}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial t_N}
\end{array}\right)
$$
と定義する。
$N=1000,\ \displaystyle{c=\frac{1000}{1.23}}$ として、以下の問いに答えよ。
（１）$1000$個の実数の組 $(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})$ であって、$x_1\leq x_2 \leq \ldots \leq x_{1000} $ かつ
$$
f_n(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})=0\ \ \ (n=1,2,\ldots ,1000)
$$
を満たすものはいくつあるか。
（２）（１）で考えた組のうち、$J(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})$ の固有値の実部がすべて負であるようなものはいくつあるか。
解答形式
（１）の答えを半角数字で1行目に入力せよ。
（２）の答えを半角数字で2行目に入力せよ。