数学の問題一覧

問題文

$n$ を自然数，$m$ を2以上の整数とする。
$n$ 個のさいころを振り，その目の和が $m$ の倍数となる確率を $p_{m}$ としたとき，すべての $n$ について，$p_{m}$ が最大となるのは，$m=2$ のときであることを示せ。

解答形式

証明してください。

問題文

$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。

解答形式

解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。
なお，解答にあたって，特殊な数式は次のように入力してください。

対数：$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m}
指数（$\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください）：$n^{m}$ = n^{m}
分数：$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}

問題文

$p$ を素数，$n$ を自然数とする。$\log_{p}(n!)$ が有理数となるとき，その値を求めよ。

解答形式

$\log_{p}(n!)$ の値をすべて求めてください。解答は小さい順に1行目から答えてください。

問題文

複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は
$$
z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...)
$$
を満たしている。このとき，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。

問題文

実数の数列 $\lbrace a_{n} \rbrace (n=1,2,...)$ は
$$
|a_{n+1}|=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}
$$
を満たしている。このとき，$a_{n}=0$ なる自然数 $n$ が存在するならば，$a_{1}+a_{2}=0$ であることを示せ。

解答形式

証明してください。

問題文

$\displaystyle \frac{xy}{2x+y}=\frac{1}{y}$ を満たす整数 $(x,y)$ の組をすべて求めよ。

解答形式

各組を1行ごとに入力してください。ただし，$x$ の値が小さい順に1行目から入力し，さらに $x$ の値が同じ場合は，$y$ の値が小さい順に入力してください。
例）答えが$(x,y)=(0,1),(0,2),(-1,2)$ のとき
（1行目）-1,2
（2行目）0,1
（3行目）0,2

問題文

実数 $a,b$ が $a^{2}+b^{2}\leqq2$ を満たしているとき，直線 $y=(a+b)x+ab$ の動く範囲を図示せよ。

解答形式

領域を表す不等式を答えてください。なお，最も簡単な形での領域を答えてください。

関数列 $\{f_n\}_{n=0,1,\dots}$ が以下を満たします.

• $f_{0}(x)=e^{e^x}$
• $f_{n}(x)=\dfrac{d}{dx}f_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\dots)$.

また, 実数列$\{A_n\}_{n=1,2,\dots}, \{B_n\}_{n=1,2,\dots}$を以下のように定義します.

• $\displaystyle A_n=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}f_{n}(x)$ .
• $\displaystyle B_n=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}\big(e^{-x}f_{n}(x)-A_n)$.

$B_{24}$ の値を求めてください.

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数 $f$ であって，任意の実数 $x,y$ に対して

$$f(x)f(y)=f(yf(x)+1)-2x$$

を満たすものが存在します．このような $f$ について，$f(3939)$ の値としてありうるものの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数になるので，半角数字で解答してください。

問題文

直角三角形Nの頂点A,B,Cをそれぞれ中心とする円Cp,Cq,Crがあり、それぞれ半径はRp,Rq,Rr(Rp<Rq,Rp<Rr)
直角三角形Nの周の長さを2ab(a,bは互いに素)とします。Rp,Rq,Rr,a,bは自然数。円Cpと円Cq,円Cqと円Cr,円Crと円Cpはそれぞれ接しています。
a<b<2aのとき、Rpをa,bを用いて表してください。

解答形式

半角英数で答えてください。

問題文

実数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n = 1, 2, \cdots 2024}$ が以下を満たしています.
・ $a_0 = 0$
・ $0 \leq a_n \leq n+1$
・ $a_{2024} = 2025$

このとき,
$$\sum_{n = 1}^{2024} \sqrt{{a_{n-1}}^2 + {a_{n}}^2 - a_{n-1}a_n - 2na_{n-1} + na_n + n^2}$$
には最小値が存在するため, 最小値を取るときの $a_{1000}$ の値を求めて下さい. ($a_{1000}$ の値は一意に定まります.)

解答形式

答えは, 互いに素な正整数 $a, b$ によって $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.

問題文

$n,m \ (m\geq n)$を正整数の定数とし、多項式$f(x)$を$f(x)=x^m$で定めます。
$f(x)$を$(x-2)^n$で割った商$Q(x)$について、$Q(2)=40$が成立しました。

$(n,m)$の組としてあり得るもの全てについて、$nm$の総和を求めてください。

解答形式

正整数値を半角で入力してください。