公開日時: 2023年11月7日21:02 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$AB:AC=5:3$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり, 線分 $AB$ 上の点 $X$ と線分 $AC$ 上の点 $Y$ が$XY∥BC$ を満たしています. また, 三角形 $AYB$ の外接円と三角形 $AXC$ の外接円の交点のうち, $A$ でない方を $P$ とすると, $P$ は線分 $BC$ 上にありました. このとき, 三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AP$ の交点のうち, $A$ でない方を $Q$ とし, 直線 $AP$ と線分 $BC$ の垂直二等分線の交点を $R$ とします. また, 線分 $PR$ を直径とする円と三角形 $ABC$ の外接円は $2$ 点 $S,T$ で交わり, 直線 $ST$ と直線 $PQ$ の交点を $U$ とすると, $PU=QU=5$ となりました. このとき, 線分 $AR$ の長さを求めて下さい. ただし, 答えは正整数 $a,b$ を用いて $a +
\sqrt{b} $ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.
正整数値を解答して下さい.
公開日時: 2023年11月7日20:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$a^n+b^m=2024(a>b>0,n>1,m>1)$である自然数の組$(a,b,n,m)$をすべて求めよ。
解答と解答を改行区切りで入力してください。
(a,b,n,m)
という形で解答をしてください。
複数ある場合は前述の通り改行区切りで入力してください。
また、aが小さい順に、aが同じ場合はbが小さい順に解答してください。
こちらのミスで自動判定の解答が指定した回答形式とあっていませんでした。すみませんでした。
公開日時: 2023年11月3日20:09 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
正整数 $n$ に対して, $n^i \equiv 1 \ (\textrm{mod} \ 25 )$ を満たす最小の正整数 $i$ を $f(n)$ とします. (ただし, このような $i$ が存在しない場合は, $f(n) = 0$ とします.) このとき, $1 \leq n \leq 10000$ の範囲で $f(n)$ が最大値をとるような $n$ の総積を $1000$ で割った余りを解答して下さい.
非負整数値を解答して下さい.
公開日時: 2023年11月2日23:26 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.
整数で回答してください.
公開日時: 2023年11月2日22:40 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
数列 $a_n$ は,$a_1=\sqrt{2-2\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}},a_2=1-2\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}$ として,以下の漸化式を満たします.
$$a_{n+1}=\dfrac{(a_n)^2-1}{a_{n-1}}(n=2,3,4,\cdots)$$
このとき,$\lfloor (a_{49})^2\rfloor$ の値を求めてください.ただし,$-0.998027<\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}<-0.998026$を用いても構いません.
$\lfloor (a_{49})^2\rfloor$ を解答してください.$\lfloor x\rfloor$ は$x$を超えない最大の整数です.
公開日時: 2023年11月2日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
正五角形 $ABCDE$ があり,その中心を $O$ とします.線分 $BO$ 上に点 $F$ を,線分 $EO$ 上に点 $G$ をとり,三角形 $AFG$ の外接円と線分 $AB,AE$ との交点をそれぞれ点 $P,Q$ とすると,以下が成立しました.
$$\angle{FAG}=54^{\circ} , PB=28 , QE = 30$$
このとき,正五角形 $ABCDE$ の一辺の長さを求めてください.
ただし,正多角形の中心とはその正多角形の外接円の中心のことを表すとします.
答えは正整数 $a,b,c$ を用いて $a+\sqrt{b - \sqrt{c}}$ と表されるので,$a+b+c$ を解答してください.
公開日時: 2023年10月30日14:07 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
実数 $x,y$ が $x^2+y^2 = 1$ を満たしています. このとき, $\cfrac{7xy-5x-5y+22}{x^2-10x+25}$ のとり得る最大値を $M$, 最小値を $N$ としたときの $NM$ の値を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるので, $a+b$ の値を解答して下さい.
非負整数値を解答して下さい.
公開日時: 2023年10月27日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
素数 $p$ に対して,$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します.正整数 $n$ に対し,$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき,以下の値を求めてください.ただし,有限小数の場合循環はしないとします.
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$
答えとなる数字のみを解答してください.