数学の問題一覧
問題文
$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり，任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない（どの桁も $10$ を超えない）ようなものについて，その要素数の最大値を求めよ．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について線分 $AC$ 上に点 $P$ を取り，線分 $PC$ の垂直二等分線と線分
$BC$ が交わったのでその点を $D$ とする．線分 $AB$ 上の点 $E$ が $ED\parallel AC$ を満たしている．三角形 $PED$ の外接円と線分 $BC$ が $D$ でない点 $F$ で交わっており，$$FA=FC=7, BD=4, PD=5$$ が成り立った．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
問題文
素数の組 $(p, q, r, s, t)$ について
$$\dfrac{p^4 + q^4 + r^4 + s^4 + t^4 + 340}{8}$$ としてありうる最小の素数値を求めよ．
自然数 n に対して、次の等式が成り立つことを示しなさい。
1+2+3+⋯+𝑛=𝑛²−(1+2+3+⋯+(𝑛−1))
問題文
$a_{1},a_{2}, \cdots , a_{1500}$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{1501}=a_{1} =1,a_{1502}=a_{2}$ と定義すると全ての $1500$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1} \neq a_{k}$ が成り立ち，かつ $1500$ 以下の正整数 $i$ のうち，
・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個
ずつ存在します．この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください．(電卓の使用を推奨します．)
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$\angle A$ が鈍角の二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円を $\Omega$ とします．$\Omega$ の点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上に点 $P$ をとり，直線 $BP$ と点 $C$ における $\Omega$ の接線の交点を $Q$ とし，直線 $AP$ と線分 $CQ$ の交点を $R$ とすると以下が成立しました．
$$BC＝40,\quad BP＝14,\quad QR＝9$$
このとき線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください
問題文
一辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ があり，辺 $AB,BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ を三角形 $PQR$ が $PQ＝QR$ の直角三角形になるようにとると，五角形 $APQRD$ の周の長さは $36$ であった．このとき五角形 $APQRD$ の面積を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ があり，内心を $I$ とします．直線 $BI,AC$ の交点を $D$ とし，端点を除く線分 $BC$ 上に $4$ 点 $ABDE$ が共円となるように点 $E$ をとると，直線 $AI,DE$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わり，以下が成立しました．
$$AD＝2,\quad BE=3$$
このとき線分 $AC$ の長さは．正の整数 $a,b,c$ を用いて$\frac{b+\sqrt{c}}{a} $ と表されるので $a+b+c$ を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，外接円 $\Omega$ の中心を $O$， $\Omega$ の $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします．$\Omega$ の点 $B,C$ それぞれにおける接線の交点を $D$ とし，線分 $AD$ と $\Omega$ の交点のうち $A$でない方を $P$ とし，点 $P$ を通り直線 $BC$ に垂直な直線と線分 $AM$ の交点を $Q$ とすると以下が成立しました．
$$AQ=8,\quad OQ=3,\quad \angle PMO=\angle QOM$$
このとき線分 $BM$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ があり重心を $G$ とし，辺 $AB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とします．辺 $BC$ 上に点 $P$ をとると $4$ 点$BMGP$ ，$4$ 点 $CNGP$ はそれぞれ共円であり，
$$BP=3,\quad CP=5$$
が成立したので線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり， $A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，線分 $AH$ 上に $\angle ABP = \angle ACP$ を満たす点 $P$ をとります．また，線分 $BC$ と三角形 $ACP$ の外接円の交点のうち $C$ でないものを $D$ とし，直線 $BP,AD$ の交点を $E$ とすれば，
$$BP=CD=5,\quad PE＝3$$
が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．