数学の問題一覧
問題文
ポロロッカ王国には$10$個のサッカーチームがあります．各チームにはレートと呼ばれる$0$以上$10$以下の整数が定まっており，レートの異なる$2$チームの試合では，必ずレートの大きい方が勝ちます．レートは秘密にされており，国民は知ることができません．
あるとき，これら$10$個のチームで総当たり戦（全$45$試合）が行われ，引き分けはありませんでした．ポロロッカ王国民であるAさんが，この総当たり戦の結果から各チームのレートを推測しようとしたところ，あり得るパターンは$N$種類存在しました．$N$として考えられる値の合計を求めてください．
解答形式
半角数字で入力してください．
A君は $38\times 57$ を次のように計算した。
$$
\newcommand{\nc}{\newcommand}
\nc{\wake}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}}
\nc{\f}[2]{\dfrac{#1}{#2}}
\nc{\s}[1]{\{#1\}}
\nc{\pmat}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\nc{\lr}[1]{\left( #1 \right)}
\nc{\com}[2]{{}_{#1}{\rm C}_{#2} \right)}
\nc{\bar}[1]{{\overline{#1}}}
\nc{\bb}[1]{{\mathbb {#1}}}
\nc{\rmn}[1]{{\rm #1}}
\nc{\q}{\quad}
\nc{\x}{\times}
\nc{\a}{\alpha}
\nc{\b}{\beta}
\nc{\th}{\theta}
\nc{\Q}[1]{\fbox{#1}}
\nc{\qq}{&\q\q\q\q\q&}\begin{eqnarray}38\qq 57 \qq \rm x\\19\qq 114\qq \rm o\\9\qq 228\qq \rm o\\4\qq 456\qq \rm x\\2\qq 912\qq \rm x\\1\qq \underline{1824}\qq \rm o\\ \qq 2166\qq \rm \\\end{eqnarray}
$$
A君の計算方法に基づいて以下の $43\x 71$ の計算の空欄を埋めよ。
$$
\nc{\qq}{&\q\q\q\q\q&}\begin{eqnarray}43\qq 71 \qq \rm o\\\Q{ア}\qq \Q{オ}\qq \rm \Q{ケ}\\\Q{イ}\qq \Q{カ}\qq \rm \Q{コ}\\\Q{ウ}\qq \Q{キ}\qq \rm \Q{サ}\\\Q{エ}\qq \Q{ク}\qq \rm \Q{シ}\\1\qq \underline{2272}\qq \rm o\\ \qq 3053\qq \rm \\\end{eqnarray}
$$
解答を改行区切りで入力せよ。ただし $\Q{ア}$ から $\Q{ク}$ には 1 から 9999 までの整数が入り、 $\Q{ケ}$ から $\Q{シ}$ には o または x が入る。
問題文
$\mathbb{F}_7$を位数7の有限体とする。このとき$\mathbb{F}_7$係数の3次多項式であって既約かつモニックであるものはいくつ存在するか？
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$f_m(x)$という関数列を$f_1(x)=\log{x},f_{m+1}=\log{f_m(x)}$と定義します。ただし$\log{x}$は自然対数です。
具体的には$f_1(x)=\log{x},f_2(x)=\log{\log{x}},f_3(x)=\log{\log{\log{x}}},\ldots$となります。
このとき、
$$\lim_{n\to\infty}\{f_m(3^n)-f_m(2^n)\}=0$$
となるような最小の自然数$m$を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
三角形の外側に3つの正方形を図のように作りました。橙・緑・紫の線分の長さを3辺の長さとする三角形（赤い三角形）の面積が57のとき、元の三角形（青い三角形）の面積を求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
長方形$ABCD$を底面とする四角錐$P-ABCD$があります。$PA=1,PB=4,PC=8$のとき、$PD$の長さを求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
$$
\sum_{k=1}^{10} {}_{10}{\mathrm{C}}_{k}\cdot9^k\cdot k
$$
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$n\;(\geq 2)$ を自然数とするとき，以下の試行を行うことを考える。
試行
- $n$ 人が $0,1,2$ のいずれかひとつの数を無作為に選ぶ。
- 人 $i\; (i=1,2,\cdots, n)$ が選んだ数を $a_i$ とする。各人 $i$ に対して，
$$
a_i\equiv\sum_{j=1}^n a_j\; ({\rm mod} \; 3)
$$ならば人 $i$ は生存し，そうでないなら脱落する。この試行をmodじゃんけんと呼ぶことにする。
$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行い，全員が生存するか全員が脱落するとき，modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。
$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行ってあいこになる確率を $p_n$ とするとき
$$
p_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\; p_3=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\; p_4=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}
$$
である。$n$ を $\fbox{ク}$ で割った余りが $\fbox{ケ}$ であるとき
$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{サ}}{\fbox{シ}^n}
$$
であり，そうでないときには
$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{ス}}{\fbox{シ}^n}
$$
である。また，
$$
\lim_{n\to\infty} p_n=\fbox{セ}
$$
が成り立つ。
解答形式
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ には，半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。
問題文
図の条件の下で、ピンクで示した線分の長さを求めてください。
解答形式
互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $x=\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください。
問題文
同じ色の線分は同じ長さです。
∠Ｘの大きさを求めてください。
青と黄、赤と黄緑の線分が重なって一部見づらくなっています。m(__)m
解答形式
度数法で、0~360の数字を半角で入力してください。
例:∠Ｘ＝30° → 30
「度」や"°"をつけずに回答してください。