数学の問題一覧
ある座標平面がある。
（6、2）（6、0）（8、0）（8、18）（0、18）（0、2）（0、0）をそれぞれ
点A B C D E F G とする。この時、四角形ABGFと六角形DCBAFEの面積をそれぞれ2等分する直線Lを引くことを考える。
直線Lのy切片の絶対値を求めよ。
問題文
$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{5},\dfrac{5}{8},\dfrac{8}{13},\dfrac{13}{21},\dfrac{21}{34},\dfrac{34}{55},\dfrac{55}{89}$ の中から( $2$ 個以上の)偶数個の異なる分数を選ぶ方法 $2^{8}-1$ 通りに対し，選んだ数の積を考えるとき，それらの総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
$$\int ^{\frac{3}{2}} _{-\frac{5}{3}}{(6x^2+x-15)}dx$$
問題文
ある正整数 $n$ は以下の条件を満たしました．
- 異なる素因数をちょうど $3$ つもつ．
- $n$ の素因数を小さい順に $p_{1},p_{2},p_{3}$ とすると，$\displaystyle\frac{n+1}{p_{1}+1},\displaystyle\frac{n+1}{p_{2}+1},\displaystyle\frac{n+1}{p_{3}+1}$ が整数になる．
このとき，$n$ の最小値を求めてください．
解答形式
半角数字で正整数で答えてください．
追記:答えを訂正しました．miq氏にはご迷惑をおかけして申し訳ありません．
問題文
図のように線分の長さが与えられたとき、青で示した線分の長さを求めてください。
解答形式
青い線分の長さを$x$とすると$x^2$は整数となるので、$x^2$を半角数字で解答してください。
【補助線主体の図形問題 #077】
今週の図形問題です。ちょっと入試問題風味の問題となりました。うまいこと補助線を引いて処理してやってください。自信のある方は暗算でどうぞ！ うっかり直径で満足してしまわないように注意してください。
解答形式
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
【補助線主体の図形問題 #007】
今回は図形問題の王道から円がらみの求角問題を用意しました。手慣れている方なら脳内で処理できるくらいの計算量です。どうぞ円と角度の世界を堪能してください。
解答形式
${
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\def\myarc#1#2{\stackrel{\style{transform:matrix(#1,0,0,1.5,0,2)}{\frown}}{\mathrm{#2}}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$ $\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
入力を一意に定めるための処置です。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
ヒント内容の予告
- 全体方針をぼんやりと
- ある定理の紹介
- ヒント1・2の内容をやや具体的に
問題文
以下の[条件]を満たす $3$ 桁の正の整数(つまり，$100$ 以上 $999$ 以下の正の整数)の組 $(A,B)$ すべてに対し，$A+B$ の値の総和を解答してください．
[条件] $A^2$ の下 $3$ 桁は $B$ であり，$B^2$ の下 $3$ 桁は $A$ である．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
半径が $1,2,3,4,5$ の同心円に半径 $5$ の円の直径を $1$ 本付け加えて出来る図形を一筆書きで描く方法は何通りあるかを求めてください．
ただし，同じ道でも向きが異なる一筆書きは異なるものとして数えるものとします．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$10$ 進数での桁和が $2500$ となる正整数であって， $2024$ の倍数となるものうち，最小のものを $M$ とします．$M$ を $10$ 進表記したときの $10^{k-1}$ の位の値を $M_k$ としたとき，$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積を $10000000$ で割った余りを答えてください．
ただし，以下の $10^n$ を $2024$ で割った余りに関する表を用いて構いません．
$$
\begin{array}{c:ccccccccc}
n & 3 &4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
10^n\pmod{2024} &1000 & 1904 &824& 144 & 1440& 232& 296
\end{array}\\\\
\begin{array}{ccccccccc}
10 & 11& 12 & 13 &14 & 15 & 16 & 17 & 18\\
\hline
936& 1264 & 496 &912 & 1024 &120 &1200 & 1880 & 584
\end{array}\\\\
\begin{array}{ccccccccc}
19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 &25\\
\hline
1792 & 1728 & 1088 & 760 & 1528 & 1112 & 1000
\end{array}
$$
解答形式
半角数字で解答してください．
たとえば $M=9876543210$ であれば，$M_1=0,M_2=1,\ldots,M_{10}=9$ となるため，$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積は $2 \times \cdots \times 9= 362880$ となります．