数学の問題一覧

問題文

数列$a_n$を次のように定める。
$a_1=1$
$a_n=n^{a_{n-1}}$
このとき、以下の問いに答えなさい。
(1)$a_{2023}$の一の位はいくつか求めよ。
(2)$a_{2024}$の一の位はいくつか求めよ。
(3)$a_{2024}$の百の位はいくつか求めよ。

解答形式

(1) ~~~
(2) ~~~
の形でお願いします。問題番号と解答、一つの小問の解答と解答の間は半角スペースを開けてください。
解答は数字のみお書きください。

【補助線主体の図形問題 #104】
　今週の図形問題です。2円と共通外接線というありがちな構図ですが、そこに長方形まで参上してしまいました。どうぞうまいこと処理してやってください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #036】
　前問に引き続き正十一角形の求角問題です。補助線が活躍するのも、処理次第では暗算可能なのもいつもと変わりません。補助線の威力を存分にお楽しみください。

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件の下で、青で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

$x=a$ 度です。$a$ を半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #108】
　問題投稿日の前日7月22日は、分数の$\dfrac{22}{7}$が$\dfrac{22}{7} = 3.\overline{142857} \fallingdotseq \pi$と円周率$\pi$に近い値をとることから「円周率近似値の日」に定められています。というわけで1日遅れですが、円の求角問題を用意しました。どうぞ軽くひねってやってください。

解答形式

${
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件において、$x$ の長さを求めてください。
なお、図中オレンジの点は直角三角形の内心です。

解答形式

解答は $x=\sqrt a$ となります。$a$ を半角数字で解答してください。

問題文

正方形に図のように線を引きました。外側の正方形の一辺が10のとき、青で示した部分の面積を求めてください。

解答形式

解答は自然数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

$f(x)$ は $x$ が $3$ で割り切れる回数を示します．
このとき，$$f(\prod_{k=2}^{2024} \lfloor \log_2 k\rfloor )$$ を求めて下さい．

解答形式

一意の整数値に定まるので、それを半角で解答してください．

問題文

$f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ は微分可能で、任意の $x,y \in {\mathbb R}$ に対して

$$
f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+1)
$$

を満たすとする。以下の空欄を埋めよ。

⑴ $f(0)=\fbox{アイ}$ または $f(0)=\fbox{ウ}$ が成り立つ。また、$f(0)=\fbox{アイ}$ のとき $f(1)=\fbox{エ}$ で、このとき $x \in {\mathbb R}$ を固定するごとに極限

$$
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$

を考えるとロピタルの定理の仮定をすべて満たしていることがわかる。よって同定理を用いて $f$ が満たす微分方程式を導くことができる。

⑵ $f$ が満たす微分方程式を解くことで、$f$ をすべて決定できる。特に $f(23)$ がとり得る値は $\fbox{オ}$ 通りあり、それらの値の総和は $\fbox{カキク}$ である。

解答形式

ア〜クには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
⑴の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
⑵の答えとして、文字列「オカキク」をすべて半角で2行目に入力せよ。

【補助線主体の図形問題 #114】
　今週の図形問題です。うまいこと補助線を引けば暗算で処理できるようになっています。初等幾何の皆さんは頭の中だけで処理し切る暗算解法に挑戦してみてください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

任意の自然数$m,n$に対し、$A(m,n)$は
$$
A(1,n) = n, \quad A(m+1,n) = \sum_{k=1}^{n}A(m,k)
$$を満たす。このとき、$A(x,y)=2024$を満たす自然数$x,y$の組$(x,y)$を求めよ。

解答形式

$x+y$の総和を半角で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #118】
　今週の図形問題です。僕の問題にしては珍しく角の比が表に出た問題となりました。補助線の威力をぜひ感じ取ってください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。