数学の問題一覧
問題
(1) 定積分
$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$
の値を求めよ。
(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を
$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$
で定める。定積分
$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$
の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。
備考
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。
問題文
次の文章の空欄を埋めてください。ただし、以下の文章全てにおいて$x>0$とします。
$(1.1)$
$f(x)=x+4x^{-2}$の最小値を、微分を用いて求めよう。まず、
$$f'(x)=\fbox ア-\frac{\fbox イ}{x^3}$$である。$f'(x)$の符号は$x=\fbox ウ$の前後でのみ変化するから、$f(x)$は$x=\fbox ウ$で極値をとり、さらにそれが最小値であることが分かる。したがって、$f(x)$の最小値は$\fbox エ$である。
この問題は$(1.2)$に示すような解法が知られている。
$(1.2)$
相加相乗平均の関係式を用いて$f(x)$の最小値を求める。$a_1+a_2=1$を満たす$0$以上の実数$a_1,a_2$を用いて、
$$f(x)=a_1x+a_2x+\frac{4}{x^2}\ge3\left(a_1x\cdot a_2x\cdot\frac{4}{x^2}\right)^{\frac 13}=3(4a_1a_2)^{\frac 13}$$とする。いかなる$a_1,a_2$の組に対してもこの不等式は成立する。一方で、等号を成立させる$x$が存在するには、$a_1x=a_2x$でなければならないから、$a_1=a_2$となる。このとき、等号成立条件
$$a_1x=a_2x=\frac{4}{x^2}$$を満たす$x$は存在して、その値は$x=\fbox ウ$で、不等式の右辺の値は$\fbox エ$となり、最小値が得られる。
$(2)$
$g(x)=x+3x^{-1}+x^{-2}$の最小値を、$(1.2)$の解法に準じて求めよう。
$(1.2)$中の議論と同様に、等号成立条件を考えれば、同類項の係数（前問では$a_1,a_2$にあたる）が異なってはならないと言える。したがって、$3$つの自然数$b_1,b_2,b_3$を用いて、$$g(x)=b_1\cdot \frac{x}{b_1}+b_2\cdot\frac{3}{b_2x}+b_3\cdot\frac{1}{b_3x^2}$$と考えることにする（即ち、$b_1$個の$x/b_1$、$b_2$個の$3/b_2x$、$b_3$個の$1/b_3x^2$の和と考える）。相加相乗平均の関係式を適用したときに、累乗根の中身が定数となるには、$b_1=\fbox オb_2+\fbox カb_3$であればよい。等号成立条件は$$\frac{x}{b_1}=\frac{3}{b_2x}=\frac{1}{b_3x^2}$$である。中辺と最右辺の等式から、$x=b_2/(3b_3)$であり、これと最左辺・最右辺の等式から、$$\frac{b_2}{3b_3\left(\fbox オb_2+\fbox カb_3\right)}=\frac{9b_3}{b_2^2}$$整理して、$$b_2^3-\fbox{キク}b_2b_3^2-\fbox{ケコ}b_3^3=0$$この式を解くと、$b_2/b_3=\fbox サ/\fbox シ$を得られるので、$b_1:b_2:b_3=\fbox ス:\fbox セ:\fbox ソ$であれば良いことが分かる。これより、$$g(x)\ge\left(b_1+b_2+b_3\right)\left(\left(\frac{x}{b_1}\right)^{b_1}\left(\frac{3}{b_2x}\right)^{b_2}\left(\frac{1}{b_3x^2}\right)^{b_3}\right)^{\frac{1}{b_1+b_2+b_3}}=\frac{\fbox{タチ}}{\fbox ツ}$$であり、$x=\fbox テ$で等号が成立して、最小値となる。
解答形式（要注意!）
以下のこと（特に2つ目）に注意して解答してください。
・$\fbox ア～\fbox テ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。
・式の係数・分母の空欄$\left(\fbox オ・\fbox カ・\fbox シ・\fbox ツ\right)$には$1$が入る可能性もあります。
・$\fbox ス～\fbox ソ$は、$\fbox ス+\fbox セ+\fbox ソ$が最小となるようにしてください。また、分数は既約分数にしてください。
文字列アイウエを$1$行目
文字列オカキクケコを$2$行目
文字列サシスセソを$3$行目
文字列タチツテを$4$行目
に入力して解答してください。
問題文
$x^4+y^4+z^4+w^4+(x^2+y^2+z^2+w^2)(xy+xz+xw+yz+yw+zw)+4xyzw$
を因数分解せよ。
解答形式
TeXで入力してください。項の順番に関しては辞書式順で入力してください。字数の高い因数を先に書いてください。
例1:
$(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)$と答えるには
(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)を入力してください。
例2:
$x,y,z,w$から重複せず3文字を選び、かけ合わせた項4つを辞書式順に並べると
$xyz,xyw,xzw,yzw$
問題文
4次関数のグラフ$C:y=f(x)$は2つの変曲点$\mathrm{P},\mathrm{Q}$をもち、1本の複接線が引けて、異なる2点$\mathrm{A}(\alpha,f(\alpha)),\mathrm{B}(\beta,f(\beta))$が接点となる。また$f(x)$の4次の係数は1である。このとき、$\displaystyle\frac{d^3}{dx^3}f(x)=0$の解を$x=\gamma$、$\mathrm{C}(\gamma,f(\gamma))$、複接線を$l_1$、直線$\mathrm{PQ}$を$l_2$、$C$上の点$\mathrm{C}$における接線を$l_3$、$l_2$と$C$の交点のうち$\mathrm{P},\mathrm{Q}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{R},\mathrm{S}$、$l_3$と$C$の交点のうち$\mathrm{C}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{D},\mathrm{E}$とおく。ただし$x$座標について、$\mathrm{A}$より$\mathrm{B}$、$\mathrm{P}$より$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$より$\mathrm{S}$、$\mathrm{D}$より$\mathrm{E}$の方が大きいとする。
(1)直線$l_1,l_2,l_3$は互いに平行であることを示せ。
(2)線分長の2乗比$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2$を求めよ。
(3)線分長の2乗比$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2$を求めよ。
(4)直線$l_2$と$C$で囲まれる部分の面積$S$を$\alpha,\beta$で表わせ。
解答形式
(2),(3),(4)の答えはそれぞれ一桁の自然数a,b,c,d,e,f,g,h,i,jを用いて以下のように表されます。
センター、共通テスト形式で埋め、10桁の自然数abcdefghijを答えてください。
$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2=a:b$
$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2=c:d$
$S=\displaystyle\frac{e\sqrt{f}}{ghi}(\beta-\alpha)^j$
問題文
級数
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\cdots$$
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 $n$ 項の絶対値は $\dfrac{1}{n}$ であり, 各項の符号は $4$ 項ごとに交代する.
解答形式
収束値は $\fbox{A}\text{ - }\fbox{F}$ をいずれも自然数として最も簡単な形で $\displaystyle{\frac{\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}\pi+\frac{\log{\fbox{E}}}{\fbox{F}}}$
と 表されます. 文字列 $\fbox{A}\,\fbox{B}\,\fbox{C}\,\fbox{D}\,\fbox{E}\,\fbox{F}$ を解答してください.
問題文
正$N$角形の頂点から3点選び三角形を作るとき，合同ではない三角形は何通りできるか。$a,b,c$に当てはまる非負整数と$e$に当てはまる式を答えてください。
$$
n( \{ (x, y, z)\, |\, \boxed{\strut \,a\,}x+\boxed{\strut \,b\,}y+\boxed{\strut \,c\,}z=\boxed{\strut \,e\,},\: x,\! y,\! z\! \in\! {\mathbb N} \})
$$
ただし${\mathbb N}$は非負整数全体の集合とし，${n({\mathbb A})}$は集合${{\mathbb A}}$の要素数を表します。
解答形式
1行目に$a,b,c$をスペース区切りで答えてください。$a+b+c$が最小になるよう答えてください。$a,b,c$は順不同です。
2行目に$e$をスペースを含めず答えてください。
例)
1 1 1
N+10
問題文
2つの三角形ABCとQCRが図のように配置されています。各点が画像に記した条件を満たすとき、赤い三角形の面積を求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。
解答形式
∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。
問題文
${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ を $2\times 2$ 正則行列全体の集合とする．単位行列を $E$ とし，${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ の部分集合 $S$ を
\begin{equation}
S=\{ A\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})\mid \forall X\in {\rm GL}(2,\mathbb{R}), AX=XA\}
\end{equation}
で定めるとき
\begin{equation}
S=\{ rE \mid r\in \mathbb{R}, r\neq 0\}
\end{equation}
であることを証明せよ．