S.P
問題
正$n$角形があり、次の手順で$点A,B,C$を定める。
手順$1$「$n$の値をルーレットにて決める。($3\leq n\leq 2m$)」
手順$2$「ルーレットにて$点A$を手順$1$で定めた正多角形の頂点上にとる。」
手順$3$「同じようにして$点B$を$点A$と異なる頂点上にとる。」
手順$4$「同じようにして$点C$を$点A,点B$と異なる頂点上にとる。」
このとき、$△ABC$が直角三角形となる確率は
$$\frac{a}{b(c-d)}\sum_{k=e}^{f}\frac{g}{h-i}\quad$$となる。($a\geq g$とする。)このとき$a,b,c,d,e,f,g,h,i$に当てはまる数を下の(1)~(20)から選んでください。(同じものを複数回選んでもよい。)
(1)$\frac{k}{4}$
(2)$\frac{k}{2}$
(3)$k$
(4)$2k$
(5)$4k$
(6)$\frac{m}{4}$
(7)$\frac{m}{2}$
(8)$m$
(9)$2m$
(10)$4m$
(11)$1$
(12)$2$
(13)$3$
(14)$4$
(15)$5$
(16)$6$
(17)$7$
(18)$8$
(19)$9$
(20)$10$
解答形式
一行目に$a$に当てはまる数の番号を、二行目に$b$に当てはまる数の番号を$\cdots $といった感じで答えてください。
問題
1辺が$2$の$正方形ABCD$と$正三角形ADE$($辺AD$を共有し、$\angle EAB=150°$)がある。$EB$上に$点F$をとり、$点F$と、$点C$を結んだ。
そして、$\angle GFC=\angle HFC=120°$となる$点G$、$点H$をそれぞれ$辺EA,ED$上にとった。その時$GF+HF+CF=2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$となった。
また、$△CDE$の外接円の中心を$O_{1}$、$△BCE$の外接円の中心を$O_{2}$とし、$\angle AO_{1}O_{2}=\angle O_{2}O_{1}I$である$点I$をとる。
このとき次の問いに答えよ。
(1)$△GHF$の外接円の面積と$△O_{1}O_{2}I$の外接円の面積の比は$a:b$である。このときの$a+b$の値を求めよ。
(2)$AF$の長さは$a\sqrt{b}-c$である。このときの$a+b+c$の値を求めよ。
(3)$\angle FO_{1}O_{2}:\angle O_{2}O_{1}I:\angle IO_{1}C:\angle CO_{1}B=a:b:c:d$である。このときの$a+b+c+d$の値を求めよ。
(4)$△BEO_{1}$の外接円の中心を$点O_{3}$とする。$\angle O_{3}O_{2}O_{1}=a°$とするとき、$a$の値を求めよ。
(5)$\angle BJO_{1}=90°$である$点J$を$辺O_{1}O_{2}$上にとる。また、$EK=\sqrt{6}$である$点K$を$辺EO_{1}$上にとる。$点C,F,J$を通る$円O_{4}$と$点J,K$を通り、半径が$\sqrt{2}$である$円O_{5}$が重なる面積は$\frac{a\pi+b}{c}$である。このときの$a+b+c$の値を求めよ。
解答形式
$n$行目に($n$)の答えを書いてください。
数学問題
$a,x,y,z$をそれぞれ異なる自然数とし、$x>y>z$とする。
この時、$$(\frac{a^{2}-x^{2}}{2x})^{2}+(\frac{a^{2}-y^{2}}{2y})^{2}=(\frac{a^{2}-z^{2}}{2z})^{2}$$を成り立たせるそれぞれが異なる有理数$a,x,y,z$の組について、$x,y,z$を$x^{2}+y^{2}=t^{2}$($t$を有理数とする),$z=\frac{xy}{t}$と定めると解が存在しないことを証明せよ。
解答形式
あまり大雑把にならないようにしてください。
問題
1辺が$2$の$正方形ABCD$と$正三角形ADE$($辺AD$を共有し、$\angle EAB=150°$)がある。$EB$上に$点F$をとり、$点F$と、$点C$を結んだ。
そして、$\angle GFC=\angle HFC=120°$となる$点G$、$点H$をそれぞれ$辺EA,ED$上にとった。
このとき次の問いに答えよ。
ただし、$GF+HF+CF=2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$とする。
(1)$\angle BFC=a°$とするとき、$a$の値を求めよ。
(2)$BE$の長さを$\sqrt{x}+\sqrt{y}$とするとき、$x+y$の値を求めよ。
(3)$点G,H,F$を通る円の面積は、次のようになる。
$$\frac{a}{b}\pi$$
このときの$a+b$の値を求めよ。
解答形式
行ごとのジャッチのため、一行目に(1)の答えを、二行目に(2)の答えを、三行目に(3)の答えを解答してください。
問題
面積が$1,\angle ACB=90°,\angle ABC=x°$である$△ABC$がある。この三角形において操作$1$を行う。
操作$1$「$辺BC$を半径とし、$\angle ABC$を中心角とする$扇形D_{1}BC$($BD_{1}=BC$)を$△ABC$内につくり、$点D_{1}$から$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点E_{1}$とする。$辺BD_{1}$を直径とし、中心角が$2y°$である$扇形D_{1}F_{1}E_{1}$($D_{1}F_{1}=E_{1}F_{1}$)をつくる。
このとき$△ABC-扇形D_{1}BC$を$図形X_{1}$,$扇形D_{1}BC-(扇形D_{1}F_{1}E_{1}+△BE_{1}F_{1})$を$図形Y_{1}$,$扇形D_{1}F_{1}E_{1}-△D_{1}E_{1}F_{1}$を$図形Z_{1}$とする。」
次に操作$n$($2\leq n$)を永遠に行う。
操作$n$「$辺BD_{n-1}$を半径とし、$\angle ABC$を中心角とする$扇形D_{n}BE_{n-1}$($BD_{n}=BE_{n-1}$)を$△ABC$内につくり、$点D_{n}$から$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点E_{n}$とする。$辺BD_{n}$を直径とし、中心角が$2y°$である$扇形D_{n}F_{n}E_{n}$($D_{n}F_{n}=E_{n}F_{n}$)をつくる。
このとき$△ABC-扇形D_{n}BE_{n-1}$を$図形X_{n}$,$扇形D_{n}BE_{n-1}-(扇形D_{n}F_{n}E_{n}+△BE_{n}F_{n})$を$図形Y_{n}$,$扇形D_{n}F_{n}E_{n}-△D_{n}E_{n}F_{n}$を$図形Z_{n}$とする。」
このとき、
(1)$図形X,X_{1},X_{2},\cdots$,
(2)$図形Y,Y_{1},Y_{2},\cdots$,
(3)$図形Z,Z_{1},Z_{2},\cdots$の面積をそれぞれ求めよ。
解答形式
それぞれ
$\frac{a\pi+b(tan(c))}{d(sin(e))+f(tan(g))}$と表せるので
一行目に(1)の$a$を、
二行目に(1)の$b$を
といった感じて計21行で答えてください。
ただし、角度が含まれるものは$°$をつけなくてよいです。
問題
面積が$2\sqrt{3},\angle ACB=90°,\angle ABC=30°$である$△ABC$がある。この三角形において操作$1$を行う。
操作$1$「$辺BC$を半径とし、$\angle ABC$を中心角とする$扇形D_{1}BC$($BD_{1}=BC$)を$△ABC$内につくり、$点D_{1}$から$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点E_{1}$とする。$辺BD_{1}$を直径とし、中心角が$60°$である$扇形D_{1}F_{1}E_{1}$($D_{1}F_{1}=E_{1}F_{1}$)をつくる。
このとき$△ABC-扇形D_{1}BC$を$図形X_{1}$,$扇形D_{1}BC-(扇形D_{1}F_{1}E_{1}+△BE_{1}F_{1})$を$図形Y_{1}$,$扇形D_{1}F_{1}E_{1}-△D_{1}E_{1}F_{1}$を$図形Z_{1}$とする。」
次に操作$n$($2\leq n$)を永遠に行う。
操作$n$「$辺BD_{n-1}$を半径とし、$\angle ABC$を中心角とする$扇形D_{n}BE_{n-1}$($BD_{n}=BE_{n-1}$)を$△ABC$内につくり、$点D_{n}$から$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点E_{n}$とする。$辺BD_{n}$を直径とし、中心角が$60°$である$扇形D_{n}F_{n}E_{n}$($D_{n}F_{n}=E_{n}F_{n}$)をつくる。
このとき$△ABC-扇形D_{n}BE_{n-1}$を$図形X_{n}$,$扇形D_{n}BE_{n-1}-(扇形D_{n}F_{n}E_{n}+△BE_{n}F_{n})$を$図形Y_{n}$,$扇形D_{n}F_{n}E_{n}-△D_{n}E_{n}F_{n}$を$図形Z_{n}$とする。」
このとき、$図形X,X_{1},X_{2},\cdots$,$図形Y,Y_{1},Y_{2},\cdots$,$図形Z,Z_{1},Z_{2},\cdots$の面積をそれぞれ求めよ。
解答形式
一行目に$図形X,X_{1},X_{2},\cdots$を、二行目に$図形Y,Y_{1},Y_{2},\cdots$を、三行目に$図形Z,Z_{1},Z_{2},\cdots$を答えてください。
ただし、それぞれ自然数$a,b,c$を用いて$-a\sqrt{b}+c\pi$又は$a\sqrt{b}-c\pi$と表せるので、$a+b+c$の値を求めてください。
問題
周の長さが$200$である$△ABC$がある。
この三角形において、操作$1$を行う。
操作$1$「$頂点A$から、$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点D_{1}$とする。
次に、$点D_{1}$から$辺AB$に向けて垂線を引き、$辺AB$との交点を$点E_{1}$とし、$点E_{1}$と$点C$を結ぶ。」
次に操作$n$を行う。($2\leq n$)
操作$n$「$点E_{n-1}$から$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点D_{n}$とする。
次に、$点D_{n}$から$辺AB$に向けて垂線を引き、$辺AB$との交点を$点E_{n}$とし、$点E_{n}$と$点C$を結ぶ。」この操作を$n$回目まで行う。
$辺AB=x,辺BC=y$とするとき、$△E_{n}BC$の面積は、
$$a\sqrt{(b-c)(c-d)(c-e)}(f-\frac{bg(c-d)(c-e)}{(dy)^{h}})^{i}$$となる。
$a,b,c,d,e,f,g,h,i$に当てはまる文字式や数字を下の(1)~(20)から選んでください。
(1)$x$
(2)$y$
(3)$(x-y)$
(4)$(x+y)$
(5)$xy$
(6)$nx$
(7)$ny$
(8)$(n-1)$
(9)$n$
(10)$(n+1)$
(11)$1$
(12)$2$
(13)$4$
(14)$5$
(15)$10$
(16)$20$
(17)$50$
(18)$100$
(19)$200$
(20)$400$
解答形式
行ごとのジャッチのため一行目に$a$に当てはまる数の番号を、二行目に$b$に当てはまる数の番号を$\cdots$という感じで解答してください。
ex.)$a=x$のとき一行目には1と解答する。
問題文
$正方形ABCD$があり、4辺をそれぞれ斜辺とする3辺の比が$a:b:c(a\leq b\leq c)$の直角三角形$(△ABH,△BCE,△CDF△DAG)$をそれぞれ重ならないように配置する。正方形の対角線$AC,BD$の交点を$I$とする。$AG$と$ID$の交点を$点J$、$FD$と$IC$の交点を$点K$としたとき、$△JGD$の面積が、$図形AKDJ(△AKD-△AJD)$の面積の$\frac{1}{4}$となった。このとき、$\angle IJG$の大きさを求めよ。
解答形式
$\angle IJG=$と°は要りません。
問題
$正方形ABCD$があり、4辺をそれぞれ斜辺とする3辺の比が$a:b:c(a\leq b\leq c)$の直角三角形$(△ABH,△BCE,△CDF△DAG)$をそれぞれ重ならないように配置する。正方形の対角線$AC,BD$の交点を$I$とする。$AG$と$ID$の交点を$点J$、$FD$と$IC$の交点を$点K$としたとき、$△JGD$の面積が、$図形AKDJ(△AKD-△AJD)$の面積の$\frac{1}{4}$となった。また、$△AEJ$の面積が$(4-2\sqrt{3})$であるとき、$正方形ABCD$の面積を求めよ。
問題
一辺が、$6\sqrt{3}$の$正三角形ABC$がある。
ここで、操作1
「$PA:PB:PC=1:2:3$となる$点P$を三角形の内部にとる。$点P$を頂点とし、$辺AB,BC,CA$の一部をそれぞれ底辺とする正三角形を作る。」を行う。
次に操作$n$$(2\leq n\leq 2027^{2026})$とする。
「操作$(n-1)$でできた三角形において、それぞれ新たな$点A,B,C$を定め、操作1を行う。」を操作$2027^{2026}$まで繰り返す。
操作$2027^{2026}$でできた三角形全てに操作$n$と同じように$点P$を定め、それぞれの三角形の三辺に$点P$から垂線を引く。この垂線全ての長さの和を求めてください。