典型的な最小問題
解説
解答は，$AP:PC=\boldsymbol{3:5}$
【解1】
$AC$ を軸として，$D$ に対称な点を $D'$ とする．このとき，$AP+PE=A'P+PE$ なので，$P$ が線分 $A'E$ 上にあるとき，$AP+PE$ は最小値をとる．
直線 $DD'$ と辺 $BC$，および辺 $AC$ の延長との交点を，それぞれ $Q,R$ とする．
このとき，対称性より $\angle ARD=90^{\circ}$ なので，$\triangle ADR$ は $30^{\circ}$ 定規型である．よって $AD:AR=2:1$．これと $AD:DB=3:1$，$AB=AC$ を加味すると，$RA:AC=3:8 \cdots(1)$
次に，$A$ を通り直線 $D'Q$ に平行な直線を引き，辺 $BC$ との交点を $S$ とする．
このとき，$BQ:QS=BD:DA=1:3$，$QS:SC=RA:AC=3:8$ より，$BQ:QC=1:11$．これと $BE:EC=3:1$ を併せて，$QE:EC=8:3$．
また，$DQ:AS=BD:BA=1:4$，$AS:RQ=CA:CR=8:11$ より，$DQ:RQ=2:11$ であり，$D'R=RD$ と併せて，$D'R:RQ=9:11$．
以上を踏まえ，$\triangle CQR$ と直線 $ED'$ に関するメネラウスの定理より，
$$
\begin{eqnarray}
\dfrac{CE}{EQ}\cdot\dfrac{QD'}{D'R}\cdot\dfrac{RP}{PC}&=&1\\
\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{20}{9}\cdot\dfrac{RP}{PC}&=&1\\
\therefore\dfrac{RP}{PC}&=&\dfrac{6}{5}
\end{eqnarray}
$$これと $(1)$ を併せると，$AP:PC=3:5 \square$
【解2】
$A$ を原点，直線 $AB$ を $x$ 軸とする座標平面上で考える．
$AB=AC=8$ とする．このとき $B\left(-4\sqrt{3},-4\right)$，$C\left(4\sqrt{3},-4\right)$，$E\left(2\sqrt{3},-4\right)$，$AD=\dfrac{3}{4}AB=6$ を得る．また，点 $D'$ を解1と同様に定めると，$\angle BAD'=\angle CAD'=120^{\circ}$ かつ $\angle BAO=\angle CAO=60^{\circ}$ より $D'$ は $y$ 軸上にあり，$AD'=AD=6$ より $D'(0,6)$ を得る．また，直線 $AC$ の方程式は $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ であるから，$P\left(p,-\dfrac{1}{\sqrt{3}}p\right)$ とおける． このとき，$P$ が直線 $D'E$ 上にあればよく，これは2直線 $D'P,DE$ の傾きが等しいことと同値である．したがって，
$$
\begin{eqnarray}
\dfrac{6+\dfrac{1}{\sqrt{3}}p}{-p}&=&\dfrac{10}{-2\sqrt{3}}\\
\therefore p&=&\dfrac{3\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}
$$このとき，$AP:PC=3:5 \square$
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