No.02　集合と要素の個数

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

図1は、あるへこみのない立体の展開図です。図1は合同な正方形2個、合同な菱型4個、合同な台形8個からなり、これを組み立てると2個の正方形1組がたがいに向かい合い、2個の台形4組がたがいに向かい合い、2個の菱形2組がたがいに向かい合います。また、図2は図1に使われている3種類の図形を、1目盛りが1cmの方眼用紙に描いたものです。図1を組み立ててできる立体の体積は何cm$^3$ですか。
　　　　　　　　　　　　　　図1

　　　　　　　　　　　　　　図2

解答形式

四捨五入して整数で答えてください。
例)$\frac{17}{4}cm^3$→4

問題文

4桁の自然数Nの千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれa,b,c,dとする。次の条件を満たすNは何通りあるか、それぞれ答えなさい。
問1 a<b<c<d 問2 a>b≧c,5<d 問3 a>b,b<c<d

解答形式

下記のように解答お願いします。問題番号と〜にあたる部分には半角スペース1個分空けてください。
問1 〜通り
問2 〜通り
問3 〜通り

${}$　西暦2024年問題第4弾です。今回は連分数を素材にしてみました。一風変わった解き心地の問題をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は有理数$a$と$b$の値を2行に分けて入力してください。値が整数のときにはそのまま整数表現で、非整数のときには既約分数○/△の形で入力することにします。「$a=$」「《1行目》」などの入力は必要ありません。
（例）$a=2024$、$b=\dfrac{1}{4}$ → 《1行目》$\color{blue}{2024}$、《2行目》$\color{blue}{1/4}$

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

【補助線主体の図形問題 #102】
　今週の図形問題です。ある素朴な性質を元に作問しました。手慣れた方は暗算で行けるかもしれません。それぞれお好きなようにお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

鋭角三角形ABCについて，外心をO，重心をG，垂心をH，内心をIとします．
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき，$AI$の2乗を答えてください．

解答形式

答えは非負整数なので非負整数値を入力してください．

【補助線主体の図形問題 #126】
　今週の図形問題です。隙あらば暗算で処理できる程度の問題を好んで出題しているのですが、今回は暗算処理は厳しいかもしれません。紙＆ペンをご用意の上、挑戦していただければと思います。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

$n,m \ (m\geq n)$を正整数の定数とし、多項式$f(x)$を$f(x)=x^m$で定めます。
$f(x)$を$(x-2)^n$で割った商$Q(x)$について、$Q(2)=40$が成立しました。

$(n,m)$の組としてあり得るもの全てについて、$nm$の総和を求めてください。

解答形式

正整数値を半角で入力してください。

問題文

△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。

解答形式

∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。

問題文

四角形ABCDは正方形で、点E,F,G,Hは辺の中点です。四角形ABCDの面積が54㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

以下の条件をともに満たす $12$ 桁の正整数 $M$ はいくつありますか？

• $M$ を $3$ 桁ずつに区切って得られる $4$ つの正整数を左から $A,B,C,D$ として定めると，$\lvert A - B + C - D\rvert$ は $11$ の倍数かつ $13$ の倍数となる．
• $M$ を $4$ 桁ずつに区切って得られる $3$ つの自然数を左から $E,F,G$ として定めると，$\lvert E - F + G\rvert$ は $137$ の倍数となる．

ただし，$M,A,E$ の最高位の数字は $0$ でないものとします．

解答形式

条件を満たす $12$ 桁の正整数 $M$ の個数を，半角数字で余分な空白や改行を入れずに解答してください．