No.02 集合と要素の個数
問題
$(1)$ 集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$ $3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．
解説
$(1)$ まず，$(x+2)(x-1)(x-3)\leqq 0$ から $S_n=\{nx\mid x\leqq -\,2,\ 1\leqq x\leqq 3\}$ と表せて，$\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ の補集合は $S_1\cap S_2\cap\overline{S_3}$ となる．よって，$k\leqq -\,4,\ 2\leqq k\leqq 3$ かつ $-\,6\lt k\lt 3,\ 9\lt k$ より $k=-\,5,-\,4,2$ の $\boldsymbol{3}$ 個とわかる．
$(2)$ $3$ 桁の整数 $900$ 個のうち，$30$ の正の約数 $d$ で割り切れるものの割合は $\dfrac{1}{d}$ となるので，$30$ と互いに素な整数は $900\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{5}\right)=240$ 個ある．よって，$9$ 個の素数 $7,11,\cdots,37$ から重複を許して $2,3$ 個とり，その積で $3$ 桁の合成数を作ると，全部で ${}_{10}\mathrm C_2-6+6=45$ 個より $3$ 桁の素数は $240-45=195$ 個以下となる．■
参考
数列 $1,2,\cdots,n$ において，素因数が $p_1,p_2,\cdots,p_m$ の項数と互いに素であるものは $\displaystyle\varphi (n)=n\prod_{k=1}^m\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right)$ 個あり，この等式をオイラーのファイ関数という．また，$n$ 桁以下の素数による個数の列は $4,25,168,1229,9592,\cdots$ となる．
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