OMC没問5

問題文

$∠$A=69°、$∠ $B=66°、$∠ $C=45°である三角形ABCがあります。辺AC上にAB=DBとなる点Dをとり、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとりました。DBとEAの交点をFとします。三角形AFBの周りの長さが12cmの時、三角形ABCの面積の2倍と三角形ABFの面積の和は何cm$^2$ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

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問題文

三角形 $ABC$ の内接円と $BC$ の接点を $D$， 三角形 $ABC$ の $\angle A$ 内の傍接円と $BC$ の接点を $E$ とし，直線 $AD$ と $\angle A$ 内の傍接円の交点のうち，$A$ から遠い方を $F$ とします．すると，
$$\angle DAE=30^\circ, \ AF=18, \ AB+CD=12$$

が成立しました．このとき，三角形 $DAE$ の面積の $2$ 乗を求めて下さい．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるため，$a+b$ の値を解答して下さい．

問題文

実数$x$は以下の条件をすべて満たす。

• $x$は有理数であり整数でない。
• $x$は$10$より大きい。
• $x$を既約分数で表したとき、分母は$20$であり分子は$17$の倍数である。
• $x-10$の小数点第一位を四捨五入した値と$\sqrt{x}$の小数点第一位を四捨五入した値は等しい。

このような$x$全てについて、$20x$の総和を求めよ。

問題文

$p$を$0$以上$1$以下の実数とします．$A$と$B$の二人は，円形の的を用いて次のようなダーツ遊びをします．

• $A,B,A,B,\dots$の順に，的に向かって交互に矢を投げる．
• $A$は直前に$B$が投げた矢よりも中心に近い位置に矢が刺されば成功となる．ただし$1$回目は必ず成功とみなす．
• $B$は直前に$A$が投げた矢よりも中心から遠い位置に矢が刺されば成功となる．
• $n$回目に矢を投げたプレイヤーは，成功すると$p^n$点を得る．成功しなかった場合，その時点でゲームを終了する．

矢の刺さる位置が的の中で一様ランダムに決まると仮定するとき，ゲームが終了するまでに$A$が得られる得点の期待値を$f(p)$とし，$B$が得られる得点の期待値を$g(p)$とします．$f(p)=\dfrac{20}{21}$であるとき，$g(p)$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{b}{a}$と表せるので，$a+b$を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$AB:AC=5:3$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり, 線分 $AB$ 上の点 $X$ と線分 $AC$ 上の点 $Y$ が$XY∥BC$ を満たしています. また, 三角形 $AYB$ の外接円と三角形 $AXC$ の外接円の交点のうち, $A$ でない方を $P$ とすると, $P$ は線分 $BC$ 上にありました. このとき, 三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AP$ の交点のうち, $A$ でない方を $Q$ とし, 直線 $AP$ と線分 $BC$ の垂直二等分線の交点を $R$ とします. また, 線分 $PR$ を直径とする円と三角形 $ABC$ の外接円は $2$ 点 $S,T$ で交わり, 直線 $ST$ と直線 $PQ$ の交点を $U$ とすると, $PU=QU=5$ となりました. このとき, 線分 $AR$ の長さを求めて下さい. ただし, 答えは正整数 $a,b$ を用いて $a +
\sqrt{b} $ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.

解答形式

正整数値を解答して下さい.

問題文

下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり，各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます．このとき，最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき，以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします．
・ 最下段の左端のブロックには $1$ を，右端のブロックには $N−2$ を，また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる．
・最下段以外のブロックには，そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる．

最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします．このとき，$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい．ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです．

解答形式

例）半角数字で解答して下さい.

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$，円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$，$AC$ の中点を $N$，円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$，円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$，$PM$ の中点を $Q$ とします．
$$AB=9,　AC=14,　QN=8$$
であるとき，$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。
$∠$FDEの大きさは何度ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

一部問題文を変更しました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。

$a,b$を実数の定数とする。$x$についての方程式
$x^{10}+x^8+(1-2b)x^{6}-6x^4-2ax^3+b^2x^2+a^2+9=0$
の実数解を全て求めよ。また、その時の$a,b$の値を求めよ。

解答形式

(x,a,b)=(1,1,1),(2,3,4)...という感じで半角で入力してください。(順不同)
±は使わないでください。
底ができるだけ小さくなるようにしてください。
また、m/n乗はa^(m/n)というふうに解答してください。例:3^(2/3),5^(7/8)など

$n$を自然数とします。$n$個の複素数からなる組$z(n)=(z_1,z_2,z_3,……z_n)$について、$z(n)$の要素からの異なる$i$個の選び方全てについてそれら(選んだ$i$個の要素)の総積を求め、それら(全ての選び方)の総和を$S(z(n),i)$とします。ある組$z(2024)$が存在して$$S(z(2024),1)=S(z(2024),2)=S(z(2024),3)=……S(z(2024),2022)=0,S(z(2024),2024)=-2$$を満たすとき、$$(z_1)^{2024}+(z_2)^{2024}+(z_3)^{2024}+……+(z_{2024})^{2024}$$の値は実数になるのでそれを計算して答えてください。

解答形式

値を1行目に半角で入力してください。

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし