レート当てゲーム

J_Koizumi_144 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年1月27日5:37 正解数: 5 / 解答数: 19 (正答率: 26.3%) ギブアップ数: 2

問題文

ポロロッカ王国には$10$個のサッカーチームがあります.各チームにはレートと呼ばれる$0$以上$10$以下の整数が定まっており,レートの異なる$2$チームの試合では,必ずレートの大きい方が勝ちます.レートは秘密にされており,国民は知ることができません.
あるとき,これら$10$個のチームで総当たり戦(全$45$試合)が行われ,引き分けはありませんでした.ポロロッカ王国民であるAさんが,この総当たり戦の結果から各チームのレートを推測しようとしたところ,あり得るパターンは$N$種類存在しました.$N$として考えられる値の合計を求めてください.

解答形式

半角数字で入力してください.


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  • $a_{1}=2023^{2023}$
  • $a_{n}$ を $120$ で割った商が $b_{n}$,余りが $c_{n}$
  • $a_{n+1}=b_{n}+c_{n}$

このとき,$\lim_{n\to\infty}a_{n}$ を求めよ.

解答形式

半角数字で解答してください.

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任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.

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整数で回答してください.

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$$

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三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし,辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると,以下が成立した:

$$\angle{DME}=90^{\circ},AD=6,DB=2,AE=7,EC=3$$

このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.

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非負整数で解答してください.

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【補助線主体の図形問題 #109】
 今週の図形問題です。今回はシンプルな見た目だけに、補助線が大いに活躍します。その分というわけではありませんが、計算は重めです。ぜひじっくりとお楽しみください。

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${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

F

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$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$,円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$,$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$,$AC$ の中点を $N$,円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$,円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$,$PM$ の中点を $Q$ とします.
$$AB=9, AC=14, QN=8$$
であるとき,$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します.
$$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

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半角数字で解答してください.

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解答形式

半角数字で解答してください.

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  • $B$は直前に$A$が投げた矢よりも中心から遠い位置に矢が刺されば成功となる.
  • $n$回目に矢を投げたプレイヤーは,成功すると$p^n$点を得る.成功しなかった場合,その時点でゲームを終了する.

矢の刺さる位置が的の中で一様ランダムに決まると仮定するとき,ゲームが終了するまでに$A$が得られる得点の期待値を$f(p)$とし,$B$が得られる得点の期待値を$g(p)$とします.$f(p)=\dfrac{20}{21}$であるとき,$g(p)$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{b}{a}$と表せるので,$a+b$を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください.

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以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します.

  • $a_0=a_{20000}=0$ .
  • $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ .

また,階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます.

  • 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数.
    $\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数
    $\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ .
    $\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ .

階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め,その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

解答形式

答えを入力してください.

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$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。
このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。

解答形式

半角数字で入力して下さい。