ただの連立方程式

問題文

以下の値を求めてください。
$$\begin{align} \sum_{k=1}^{33333^2+200\cdot33333}\sqrt{\frac{2k+19999-2\sqrt{k^2+19999k+99990000}}{k^2+19999k+99990000}} \end{align}$$

解答形式

答えは互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表されるので、
$p+q$の値を解答してください。

制作者の声

(誰かがもう作ってそうです...知っている方がいれば教えてほしいです)

以下の極限値を求めよ。

$$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\biggr(\lim_{x\rightarrow{0}}\prod_{k=1}^n\frac{kx}{\sin(k+1)x}\biggr)$$

問題文

$A,B$を全ての要素が$2$以上$2024$以下の自然数からなる集合で$A$と$B$の和集合の要素数が$2023$個であるものとします。$A,B$から要素を自由に$1$つずつ選ぶとき、どのように要素を選んでもその$2$つの数の最大公約数が$1$になるような$A,B$の組$(A,B)$の個数を求めてください。ただし、必要ならインターネットにある素数表を検索して用いても構いません。また、空集合も条件を満たすものとしてください。

問題を少し変更いたしました。

解答形式

答えは正の整数$n$を用いて$2^n$と表せますから$n$を半角で1行目に入力してください。

問題文

$a^n+b^m=2024(a>b>0,n>1,m>1)$である自然数の組$(a,b,n,m)$をすべて求めよ。

解答形式

解答と解答を改行区切りで入力してください。

2023/11/8追記

(a,b,n,m)
という形で解答をしてください。
複数ある場合は前述の通り改行区切りで入力してください。
また、aが小さい順に、aが同じ場合はbが小さい順に解答してください。

2023/11/24追記

こちらのミスで自動判定の解答が指定した回答形式とあっていませんでした。すみませんでした。

問題文

一辺の長さが $1$ の立方体 $1800$ 個から構成される，長さ $10,12,15$ の辺からなる直方体があります．
このとき，直方体の対角線のうちの $1$ つについて，これが内部を通過する立方体の個数を求めてください．

ただし，立方体の内部とは，頂点や辺・面そのものを含まないものとして考えます．

解答形式

求めるべき値は非負整数値として一意に定まるので，これを解答してください．

正の実数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ に対し, $a_1=b_1=1$ および $n=1,2,3,4,5$ について以下を満たす実数の組の列 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_6,b_6)$ を考えます.
$$a_{n+1}=x_n a_n-n b_n,\quad b_{n+1}=x_n b_n$$
$b_6=100$ となるとき, $a_6$ として取りうる値には最大値が存在し, それを $M$ とします. $M$ の最小多項式 $P$ が存在するので, $P(500)$ を求めてください. ただし, $P$ の最高次の係数は $1$ とします.

問題文

次の方程式の整数解を求めよ。
ただし、$p, q$は非負整数である。
$$x^2-15x+3^p-2^q=0$$

解答形式

半角数字で小さい順につなげて入力してください。
例　$x=-4,-1,0,3,4$の時　-4-1034

【補助線主体の図形問題 #110】
　今週の図形問題です。このところ五心の活躍が多いですが、今回登場するのは重心と内心。この2点が平行線でつながっています。これらの図形が織りなす性質を楽しんでください。

解答形式

${ \def\cm{\thinspace \mathrm{cm}} }$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #107】
　今週の図形問題です。3連休の中日、ちょっと重めの問題を用意しました。そのかわり（想定解では）計算はわずか、暗算で処理できる分量です。どうかお好きな解法でお楽しみください。

解答形式

${ \def\cm{\thinspace \mathrm{cm}} }$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

$$a_1=b_1=2025， \begin{cases} a_{n+1}=a_n-2n+b_{2028}\\ b_{n+1}=b_n+4n+a_{2028}\end{cases}$$

について、$a_n$の一般項を
$$a_n=α−(n−1)(n−β)$$ と表したとき、$β$の値を求めよ

${}$　西暦2024年問題第3弾です。今回は中学入試風の規則性の問題となりました。軽く解いてやってください。

解答形式

${}$　解答は黒石の個数を単位なしでそのまま入力してください。
（例）103個 → $\color{blue}{103}$

$a!+b!+5c^2=2024$となる自然数$a,b,c$の組$(a,b,c)$を全て求めよ。

＊＊入力形式＊＊
(a,b,c)=(1,1,1),(2,3,4),...というふうに半角で入力してください。区切る時は,を用いてください。(順不同)