図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。
四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。 例)$\frac{52}{3}$→17.33
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$n$を自然数とする。$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} n^k$を$8$で割った余りを$a_{n}$、 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$とする。すべての$n$に対して$a_{n+l}=a_{n}$が成り立つような自然数$l$の最小値と$S_{m+2025}=2S_{m}$が成り立つような自然数$m$の最大値を求めよ。
1行目に$l$を,2行目に$m$を半角英数字で解答してください。例えば$l=123,m=456$とする場合
123 456
としてください。
三辺の長さがa!、b!、c!(a,b,cは自然数)となる直角三角形は存在するか。
存在するならば組(a,b,c)を1組入力してください。存在しないならば、存在しないことを証明してください。(簡単にでいいです)
$a_1+2a_2+3a_3=n$ を満たす非負整数の組 $(a_1,a_2,a_3)$ 全てについて, $$\frac{(a_1+a_2+a_3)!}{a_1!\times a_2!\times a_3!}$$ の総和を $f(n)$ とします. $f(n)\equiv 6 \pmod{12}$ を満たす最小の正整数 $n$ を求めてください.
関数列 $\{f_n\}_{n=0,1,\dots}$ が以下を満たします.
また, 実数列$\{A_n\}_{n=1,2,\dots}, \{B_n\}_{n=1,2,\dots}$を以下のように定義します.
$B_{24}$ の値を求めてください.
100をe進数で表記すると何桁になるか。(整数部分のみ)
半角数字+「桁」という文字(例:1桁)
$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$
$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。
$n$を $0$ でない実数とします。以下の定積分を求めてください。
答えだけでもいいですが、方針があると嬉しいです。
図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、図は辺の長さが等しい正三角形と正方形と正六角形を組み合わせた図形で、正方形の面積は18㎠です。
半角数字で入力してください。 例)10
$$ x+ \frac{1}{x} =1 $$ のとき以下の値を求めよ $$ \sum_{k=1}^{10^m}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad $$ ただしmは自然数である。
半角数字で答えてください。 また、複数個の値を取りうる場合は値の小さい順に改行して入力してください。
$AB=AC=3$ なる $\triangle ABC$ がある.辺 $BC$ の $C$ 側の延長上に,$AD=5$ なる点 $D$ をとる.$\triangle ABD$ の外接円において,$B$ を含まない弧 $AD$ 上に,$DE=4$ なる点 $E$ をとる.直線 $CE$ と $\triangle ABD$ の外接円との交点のうち,$E$ でないものを $F$ としたら,$EF=\dfrac{48}{\sqrt{91}}$ となった.このとき, $$ BF=\dfrac{a}{b} $$ である.ただし,$a,b$ は互いに素な自然数である.
$\boldsymbol{\underline{a^{2}+b^{2}}}$ の値を求めよ.
半角数字で解答してください.
$$p、p^2、p^3、p^4$$が10進数表記ですべていい数字となる自然数pは存在するか。 ただし、いい数字とはどの桁も素数であるような自然数のことである。例えば、252、7352のような自然数のことである。
存在するならばそのような自然数pを入力してください。存在しないならば、存在しないことを証明してください。(簡単にでいいです。)
$$ a_1=b_1=2025, \begin{cases} a_{n+1}=a_n-2n+b_{2028}\\ b_{n+1}=b_n+4n+a_{2028}\end{cases} $$
について、$a_n$の一般項を $$a_n=α−(n−1)(n−β)$$と表したとき、$β$の値を求めよ