Sigma Problem

問題文

ある数$N$は$714$進法で$\underbrace{1818\dots1818}_{\text{1430個}}0$と表されます。$N$の素因数に含まれない最小の素数は何でしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$37^{2024}$ の十の位と一の位の数をもとめてください.

解答形式

$37^{2024}$ の十の位と一の位の数を空白で区切って1行に入力してください.
例えば $37^{2024}$ の十の位が $0$ で一の位が $2$ の場合は 0 2 のように入力してください。

問題文

$1998^{2024}$の下$2$桁を求めよ。

解答形式

1行目に半角整数で入力してください。

問題文

以下の[条件]を満たす $3$ 桁の正の整数(つまり，$100$ 以上 $999$ 以下の正の整数)の組 $(A,B)$ すべてに対し，$A+B$ の値の総和を解答してください．

[条件] $A^2$ の下 $3$ 桁は $B$ であり，$B^2$ の下 $3$ 桁は $A$ である．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします．
正整数 $n$ に対して， $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます．$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください．ただし，$3343$ は素数です．

解答形式

非負整数を解答してください．

問題文

下の図において, $\triangle ABC$ と $\triangle BDE$ は二等辺三角形です. さらに,
$$\angle ABC=\angle BDE=90^\circ,\hspace{1pc} \angle EBC=60^\circ\\
BC=32, \hspace{1pc} DB=6\sqrt{2}$$ が成立します. 線分 $AE$ の中点を $M$ とするとき, 線分 $DM$ の長さを求めてください.
ただし, $E$ は $\triangle ABC$ の内側にあります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

△ABC(AB＜AC)の垂心をH、外心をOとし、直線HOと辺AB,BCの交点をD,Eとし、点Eは線分BCを3:1に内分している。このとき、AD/DBの値を求めなさい。ただし、Bの側からD,H,O,Eの順に位置している。

解答形式

互いに素な正の整数a,bを用いて、b/aの形で答えてください。
解答には
AD/DB=b/aと答えてください。

問題文

座標平面において $A(0,4000),B(-3000,0),C(3000,0)$ をとります．次の条件をすべて満たすような直線 $\ell$ として考えられるものは何通りありますか．

• $\ell$ と直線 $AB$ は点 $P$ で交わり， $P$ の $x$ 座標は $-3000$ より大きく $0$ より小さい．
• $\ell$ と直線 $AC$ は点 $Q$ で交わり， $Q$ の $x$ 座標は $3000$ より大きい．
• 線分 $BP$ の長さと線分 $CQ$ の長さは整数値である．
• $\ell$ と $x$ 軸の交点を $R$ とするとき，$\triangle RPB$ と $\triangle RQC$ の面積は等しい．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題

$n=1,2,3...、k=0,1,2...n-1$とします。

また、不等式$$a_1<a_2<...<a_n≦n$$

を$A_0$とし、$A_0$の$n-1$個の$<$のうち$k$個が$≦$に置き換わったものの一つを$A_k$とします。

ここで、$A_k$をみたす正整数$(a_1,a_2...a_n)$の組の総数を$N_k$とするとき、$N_0+N_1+...+N_{n-1}$を$n$を用いて表してください。

解答形式

$C$(コンビネーション記号)を用いて、$aCb$の形で表すことができるので、$a,b$の間に半角スペースを入力して、$a$ $b$を半角英数字で入力してください。
追記:ただし、$b$は$2$つの値が考えられるので、小さい方を入力してください。
例)$nC2→n$ $2,2nCn→2n$ $n$

※初めの解答では指定がなく間違い判定になった方がいたので修正させていただきました、、

問題文

正の実数 $x,y,z$ が，
$$
(6x+15y+8z)xyz=5
$$
を満たす時， $(5x+5y+4z)^2$ の最小値を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください

問題文

正八角形 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$があり, 各頂点に $0,1,2$ のいずれかの数字を $1$ つずつ書き込みます.
頂点 $P_i$ に書かれた数字のことを, $f(P_i)$ で表すこととします.

正八角形の頂点 $P_i$ が"孤独な頂点"であるとは, $f(P_i) \neq f(P_{i-1})$ かつ $f(P_i) \neq f(P_{i+1})$ を満たすことと定義します.
ただし, 便宜上 $f(P_0)=f(P_8),\ f(P_9)=f(P_1)$ であるとします.
また, 正八角形の"孤独な頂点"の個数を"孤独度"と呼ぶことにします.

正八角形の頂点に数字を書き込む方法は $3^8$ 通りありますが, それらすべてについて"孤独度"の総和を求めてください.

例：
$$(f(P_1), f(P_2), f(P_3), f(P_4),f(P_5), f(P_6), f(P_7), f(P_8)) = (0,1,2,1,2,1,2,0)$$ のときは $P_2,...,P_7$ が"孤独な頂点"となるので, この数字の書き込み方の"孤独度"は $6$ となります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

$n^4+4n^2-38n+69$ が平方数となるような正整数 $n$ の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．