自作問題No.2

問題

$(1)$　集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$　$3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．

解答形式

命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します.
$$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています．このとき， $x+4y+9z$ の最小値を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

実数$x$は以下の条件をすべて満たす。

• $x$は有理数であり整数でない。
• $x$は$10$より大きい。
• $x$を既約分数で表したとき、分母は$20$であり分子は$17$の倍数である。
• $x-10$の小数点第一位を四捨五入した値と$\sqrt{x}$の小数点第一位を四捨五入した値は等しい。

このような$x$全てについて、$20x$の総和を求めよ。

問題

$(1)$　$4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ．
$(2)$　方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ．

解答形式

$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

半円が内接する長方形に、図のように線を引きました。赤と青で示した線分の長さがそれぞれ3,4で、ピンクで示した線分の長さが等しいとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

$x=\sqrt{\fbox{アイ}}$です。文字列 アイ を解答してください。

問題文

扇形内部に図のように線を引きました。青い三角形の面積が12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$S=\{1,2,3,4,5,6\}$ とします．$S$ の相異なる部分集合 $A,B,C$ の組であって，$A\subset B\subset C$ を満たすものの個数を求めてください．
(ただし，$A,B,C$ は空集合や $S$ に一致してもよいものとします．)

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

共通部分を持たない2円と、その共通接線があります。図中の同じ色で示した線分の長さが等しいとき、2円の半径比を求めてください。

※図は正確でないことに注意

解答形式

大円の半径を$R_1$、小円の半径を$R_2$とすると、$R_1:R_2=\fbox ア:\fbox イ$です。文字列 アイ を解答してください。
例：$R_1:R_2=5:2$ であれば 52 と解答

問題

$0,a,b,c$ は相異なる実数で，$a^3b+b^3c+c^3a=ab^3+bc^3+ca^3$ を満たすとき，次の値を求めよ．$$\min_{a,b,c}\dfrac{(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4+50)}{a^5+b^5+c^5}$$

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

鋭角三角形ABCについて，外心をO，重心をG，垂心をH，内心をIとします．
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき，$AI$の2乗を答えてください．

解答形式

答えは非負整数なので非負整数値を入力してください．