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問題文

鋭角三角形$ABC$において，外心を$O$とし，$\angle OAB$の二等分線と$BC$の交点を$D$とすると，$BD＝OD$，$\angle AOD >90^\circ$を満たした．$AO＝7$，$AD=10$であるとき，$BC$の長さを求めよ．

解答形式

求める値は正整数$a,b$を用いて$a+\sqrt b$と表せるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

問題文

$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において，$AC$の中点を$M$とすると，$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$，$Q$をとることができ，$B$，$P$，$Q$，$C$はこの順にあった．また，直線$MQ$について$B$と対称な点を$X$とすると，$AX=11$，$PX=18$を満たした．このとき，$BC$の長さの$2$乗を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

問題文

△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。

解答形式

∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。

問題文

凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします．
$$
\begin{cases}
AB=BC=CD=DE \\\\
2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\
2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ}
\end{cases}
$$
このとき，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので，$a+b$ を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

図の条件の下で、緑の線分の長さ $x$ を求めてください。

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

$AB=13,BC=14,CA=15$ を満たす三角形 $ABC$ において、外心を $O$、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ の中点を $N$、$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします。また、円 $DMN$ と $AD$ の交点を $X$、$MN$ について $X$ と対称な点を $Y$ とします。このとき四角形 $BCOY$ の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

内接四角形ABCDとその対角線の交点Mについて、図のような条件が与えられたとき、線分ACの長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

外接円の直径が$5$，$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において，$\triangle ABC$の内心，$B$傍心をそれぞれ$I_1$，$I_B$とし，$\triangle ADC$の内心，$D$傍心をそれぞれ$I_2$，$I_D$とすると，$I_1$，$I_2$，$I_B$，$I_D$は同一円周上にあり，$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした．$AC$の中点を$M$としたとき，$BM+DM$を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。はじめ、黒板には $n-1$ 個の有理数 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n} $ が書かれている。黒板から $2$ つの有理数 $x,y$ を選んで消し、新たに有理数 $\displaystyle \frac{x+y}{1+xy} $ を書くという操作を繰り返し行う。そして、最後に黒板に残った $1$ つの有理数を既約分数として表すと、分子が $899$ で割り切れた。

このようなことが起こる最小の $n$ を求めよ。

解答形式

条件を満たす $n$ の最小値を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

扇形内部に図のように線を引きました。青い三角形の面積が12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし，辺 $CA$，辺 $CB$，円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします．また，円 $O_2$ と辺 $CA$ ，辺 $CB$，円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし，直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし，直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします．$
$TA=23,TB=35,TC=57$ のとき，(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．