lim_int_sin (大数宿題2024-10)

Lim_Rim_ 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2025年3月29日2:40 正解数: 3 / 解答数: 3 (正答率: 100%) ギブアップ数: 1
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問題文

(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.

(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n}
$を求めよ.

解答形式

電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. （例：0.1234567なら0.12345と解答する）

ヒント1

(2): $1 = (\theta)'$ を使って部分積分してみる

ヒント2

(2): $n$乗の中身が $1 + (\text{微小量})$ になることを観察する。よって $1^{\infty}$ の不定形なので、$e$が出てくる極限を扱うときと同じことをやる。

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$$
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2+8\sqrt{abcd}
$$
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$$
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$$

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