[B] Ising Othello
解説
まず以下の漸化式が成立する。
$$
P(A_N(t+1)=i)=\frac{N-i+1}{N}P(A_N(t)=i-1)+\frac{i+1}{N}P(A_N(t)=i+1)
$$
これは$P(A_N(t)=-1)=P(A_N(t)=N+1)=0$に注意すれば，$0\leq i\leq N$で成立する。
$A_4(0)=2$のとき$A_4(2)=2$になるまでの$A_4(t)$のありうる推移を全て書き出すと
$$
2\longrightarrow3\longrightarrow2\\
2\longrightarrow1\longrightarrow2
$$であるから
$$
P_1=\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{4}
$$
同様にして$A_8(0)=2$のとき$A_8(3)=3$になるまでの$A_8(t)$のありうる推移を全て書き出すと
$$
2\longrightarrow3\longrightarrow4\longrightarrow3\\
2\longrightarrow3\longrightarrow2\longrightarrow3\\
2\longrightarrow1\longrightarrow2\longrightarrow3\\
$$であるから
$$
P_2=\frac{3}{4}\times\frac{5}{8}\times\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\times\frac{3}{8}\times\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times\frac{7}{8}\times\frac{3}{4}=\frac{39}{64}
$$
さて，最初に示した漸化式の両辺に$i$をかけると
$$
iP(A_N(t+1)=i)=\frac{i(N-i+1)}{N}P(A_N(t)=i-1)+\frac{i(i+1)}{N}P(A_N(t)=i+1)
$$ここで，$i=0,1,\cdots,N$で両辺の和をそれぞれとり、$\sum$の変数の取り方をずらすと，
$$
\begin{eqnarray}
\sum_{i=0}^NiP(A_N(t+1)=i)&=&\sum_{i=0}^N\frac{i(N-i+1)}{N}P(A_N(t)=i-1)+\sum_{i=0}^N\frac{i(i+1)}{N}P(A_N(t)=i+1)\\
&=&\sum_{i=-1}^{N-1}\frac{(i+1)(N-i)}{N}P(A_N(t)=i)+\sum_{i=1}^{N+1}\frac{i(i-1)}{N}P(A_N(t)=i)\\
&=&\sum_{i=0}^{N}\frac{(i+1)(N-i)}{N}P(A_N(t)=i)+\sum_{i=0}^{N}\frac{i(i-1)}{N}P(A_N(t)=i)\\
&=&\sum_{i=0}^{N}\frac{(N-2)i+N}{N}P(A_N(t)=i)\\
&=&\left(1-\frac{2}{N}\right)\sum_{i=0}^NiP(A_N(t)=i)+1
\end{eqnarray}
$$ここで，$\mu_N(t)$の定義から
$$
\mu_N(t+1)=\left(1-\frac{2}{N}\right)\mu_N(t)+1
$$が成り立つ。$\mu_N(0)=x(0\leq x\leq N)$とすると，
$$
\mu_N(t)=\frac{N}{2}+\left(1-\frac{2}{N}\right)^t\left(x-\frac{N}{2}\right)
$$なので，$x$の値にかかわらず
$$
\lim_{t\to\infty}\mu_{50}(t)=25
$$となることがわかる。
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