[C] A Downward Tower

問題文

$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\frac{(1+xt^2)-e^{xt^2}}{t\cdot e^{xt^2}}dt$とおく。
1 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^p}$が有限値となる$p$とその極限値$\alpha$を求めよ。
2 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{(\log{x})^q}$が有限値となる$q$とその極限値$\beta$を求めよ。

解答形式

$p=\fbox{ア}$
$\alpha=\displaystyle-\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$
$q=\fbox{エ}$
$\beta=\displaystyle-\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$
である。$\fbox{ア}$から順に1行ごとに答えよ。

問題文

数列$~\{a_n\},~\{b_n\}$を相異なる2つの実数$~\alpha,\beta~$を用いて以下のように定義する。
$$
a_n = \cfrac{1}{\displaystyle{\sum_{k=0}^n}\alpha^{n-k}\beta^{k}}~~~,~~~b_n = \sum_{m=0}^\infty\frac{1}{a_mn^{m+2}}
$$ただし、$\{b_n\}~$は$n\geq 2$で定義されるものとする。$\alpha,\beta~$が
$$
\begin{cases}
\alpha + \beta = 1\\
|\alpha||\beta| = 1
\end{cases}
$$を満たすとき、
$$
a_k = b_k
$$となる最小の自然数$~k~$は$~k=\fbox{ア}\fbox{イ}$であり、このとき$~b_k = \cfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}$である。

解答形式

ア〜オには0から9までの数字のいずれかが入る。
数字列「アイウエオ」をすべて半角で入力し解答せよ。
ただし、分数は既約分数の形にすること。

問題文

$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、

$$
\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}}
$$

である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。

ヒント

必要であれば以下の事実を用いてよい。

・実数 $a,b,c$（ただし $a\neq-64$ ）について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式

$$
1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2
$$

が成り立つ（これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる）。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。

問題

次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か．$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$

解答形式

逆，裏，対偶それぞれの整数反例の和を半角数字で入力してください．

問題

$a=2+\sqrt3$とする.
このとき
$$a^{2025}+a^{2023}+...+a^3+a$$の$1$の位を求めよ.

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

$2024!$の約数の和は$2025$の倍数であることを示せ。

問題文

$n$ を自然数とする。置換 $\sigma\in \mathfrak{S}_n$ に対して，$\sigma$ の近道度 $m(\sigma)$ を次のように定義する。

• $\sigma$ を 互いに素な（共通元をもたない） 巡回置換の積に表したとき，各巡回置換の長さの積の逆数を $m(\sigma)$ とする。（太字部分は19:42追記）

例えば $\sigma=(1 4 2)(5 6 7)(3)\in \mathfrak{S}_7$ なら，$\sigma$ は長さ $3, 3, 1$ の巡回置換からなるから，$\sigma$ の近道度 $m(\sigma)$ は

$$
m(\sigma)=\frac{1}{3\cdot 3\cdot 1}=\frac{1}{9}
$$

である。自然数 $n$ に対して，${1,\cdots, n}$ の置換（これは $n!$ 通りある）の近道度の平均を

$$
f_n=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} m(\sigma)
$$

とおく。

$$
f_1=1, \; f_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, \; f_4=\frac{\fbox{ウエオ}}{\fbox{カキク}}
$$

であり，

$$
\sum_{n=0}^{\infty} f_n=\fbox{X}
$$

である（級数が収束することは証明なしに認めてよい）。ただし $f_0=1$ と約束する。

※ $\mathfrak{S}_n$ は $n$ 次対称群を表す（19:03追記）。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ク}$ には 0 - 9 の数字が当てはまります。$\fbox{　X　}$にはある実数が当てはまります。空欄のある分数はすべて既約です。

• 1行目 には $\fbox{ア}$ に当てはまる数を半角で入力してください。
• 2行目 には $\fbox{イ}$ に当てはまる数を半角で入力してください。
• 3行目 には $\fbox{ウエオ}$ に当てはまる数を半角で入力してください。
• 4行目 には $\fbox{カキク}$ に当てはまる数を半角で入力してください。
• 5行目 には $\fbox{　X　}$ に当てはまる数を入力します。答えを $10$ 進小数で表し，小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください。例えば，$9.876\cdots $ が答えになる場合は 9.9 と解答してください。

ヒント

• $f_0,\cdots, f_{n-1}$ を使って $f_n$ を表すことができます。
• $f_n$ の母関数を $f(t)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} f_nt^n$ とおくと，$f(t)$ はとある微分方程式を満たします。

問題

$(1)$　方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ．
$(2)$　不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ．

解答形式

$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください．

双六でnマス目に止まる確率を求めよ。
ただし、n≦10、さいころは1個とする。

解答形式

初投稿で難易度設定とか解答の作り方とかよく分かってないので間違っていたらすみません。
・アルファベット&記号は全て半角(ただし、マイナスについては基本的に「ー」を使い、aのb-1乗のような場合では「-」を使います。)
・a分のbのc乗→(b/a)^c
・b/a+d/cのようなものは1項にまとめてください。
・場合分けがある場合は
n≦aのとき(解答)
b≦n≦cのとき(解答)
といったように改行して答えてください。

問題文

$x$に関する3次方程式$x^3+ax+b=0$($a,b$は実数)の3解の絶対値がすべて1以下となる$a,b$の必要十分条件が表す領域を$ab$平面に図示し、その面積を求めよ。

解答形式

面積の値のみを解答してください。答えは分数になるので/を用いて入力してください。
例：$\displaystyle\frac{5}{7}$→5/7

問題文

次の文章の空欄を埋めてください。ただし、以下の文章全てにおいて$x>0$とします。
$(1.1)$
$f(x)=x+4x^{-2}$の最小値を、微分を用いて求めよう。まず、
$$f'(x)=\fbox ア-\frac{\fbox イ}{x^3}$$である。$f'(x)$の符号は$x=\fbox ウ$の前後でのみ変化するから、$f(x)$は$x=\fbox ウ$で極値をとり、さらにそれが最小値であることが分かる。したがって、$f(x)$の最小値は$\fbox エ$である。

この問題は$(1.2)$に示すような解法が知られている。

$(1.2)$
相加相乗平均の関係式を用いて$f(x)$の最小値を求める。$a_1+a_2=1$を満たす$0$以上の実数$a_1,a_2$を用いて、
$$f(x)=a_1x+a_2x+\frac{4}{x^2}\ge3\left(a_1x\cdot a_2x\cdot\frac{4}{x^2}\right)^{\frac 13}=3(4a_1a_2)^{\frac 13}$$とする。いかなる$a_1,a_2$の組に対してもこの不等式は成立する。一方で、等号を成立させる$x$が存在するには、$a_1x=a_2x$でなければならないから、$a_1=a_2$となる。このとき、等号成立条件
$$a_1x=a_2x=\frac{4}{x^2}$$を満たす$x$は存在して、その値は$x=\fbox ウ$で、不等式の右辺の値は$\fbox エ$となり、最小値が得られる。

$(2)$
$g(x)=x+3x^{-1}+x^{-2}$の最小値を、$(1.2)$の解法に準じて求めよう。
$(1.2)$中の議論と同様に、等号成立条件を考えれば、同類項の係数（前問では$a_1,a_2$にあたる）が異なってはならないと言える。したがって、$3$つの自然数$b_1,b_2,b_3$を用いて、$$g(x)=b_1\cdot \frac{x}{b_1}+b_2\cdot\frac{3}{b_2x}+b_3\cdot\frac{1}{b_3x^2}$$と考えることにする（即ち、$b_1$個の$x/b_1$、$b_2$個の$3/b_2x$、$b_3$個の$1/b_3x^2$の和と考える）。相加相乗平均の関係式を適用したときに、累乗根の中身が定数となるには、$b_1=\fbox オb_2+\fbox カb_3$であればよい。等号成立条件は$$\frac{x}{b_1}=\frac{3}{b_2x}=\frac{1}{b_3x^2}$$である。中辺と最右辺の等式から、$x=b_2/(3b_3)$であり、これと最左辺・最右辺の等式から、$$\frac{b_2}{3b_3\left(\fbox オb_2+\fbox カb_3\right)}=\frac{9b_3}{b_2^2}$$整理して、$$b_2^3-\fbox{キク}b_2b_3^2-\fbox{ケコ}b_3^3=0$$この式を解くと、$b_2/b_3=\fbox サ/\fbox シ$を得られるので、$b_1:b_2:b_3=\fbox ス:\fbox セ:\fbox ソ$であれば良いことが分かる。これより、$$g(x)\ge\left(b_1+b_2+b_3\right)\left(\left(\frac{x}{b_1}\right)^{b_1}\left(\frac{3}{b_2x}\right)^{b_2}\left(\frac{1}{b_3x^2}\right)^{b_3}\right)^{\frac{1}{b_1+b_2+b_3}}=\frac{\fbox{タチ}}{\fbox ツ}$$であり、$x=\fbox テ$で等号が成立して、最小値となる。

解答形式（要注意!）

以下のこと（特に2つ目）に注意して解答してください。

・$\fbox ア～\fbox テ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。
・式の係数・分母の空欄$\left(\fbox オ・\fbox カ・\fbox シ・\fbox ツ\right)$には$1$が入る可能性もあります。
・$\fbox ス～\fbox ソ$は、$\fbox ス+\fbox セ+\fbox ソ$が最小となるようにしてください。また、分数は既約分数にしてください。

文字列アイウエを$1$行目
文字列オカキクケコを$2$行目
文字列サシスセソを$3$行目
文字列タチツテを$4$行目
に入力して解答してください。

問題文

半径21の扇形に図のように線を引きました。青い三角形の面積が213のとき、赤い線分の長さを求めてください。

※高校数学カテゴリに入れてますが、中学数学範囲での綺麗な解法をTwitterにて頂きました。是非考えてみてください。

解答形式

解答は既約分数$\frac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エ}}$となります。文字列「アイウエ」を解答してください。
ただし、$\fbox ア ～ \fbox エ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。