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baba 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 中学数学
2020年6月3日3:23 正解数: 4 / 解答数: 9 (正答率: 44.4%) ギブアップ不可

問題文

https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で,「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.

解答形式

半角数字で入力してください.


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この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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問題文

ピザが1枚ずつ乗った N(2) 枚の皿が横一列に並んでいます.ピザにはがあり,表には具がのっていて,裏にはのっていません.はじめ,すべての皿のピザは表が上になっています.これらのピザに対して,次の操作Xを考えます.

操作X:

  1. 隣り合う2枚の皿に着目し,左側の皿に乗っているピザをひっくり返し,右側の皿の一番上に重ねる.ピザが複数枚乗っている場合は,ピザを重ねたまままるごとひっくり返す.
  2. 左側の皿を取り除き,皿どうしのすき間を詰める.

この操作XをN1回繰り返すと,1枚の皿にピザの塔ができます.操作Xの N1 回の繰り返しをピザの調理ということにします.ピザの塔を構成するピザを,上から順にPi(i=1,,N)とし,Pi が表を上に向けているとき「表」,裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると,ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます.

N=6とします.「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.

解答形式

半角数字で入力してください.

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問題文

nを2以上の整数とし, f(x)=nxn+nxn1(x0)を考える。

(1) xを正の整数とするとき, f(x)の値が整数でないことを示せ。

(2) y=f(x), x軸, x=m1 (mは正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。

解答形式

(2)m=100 のときの答えを半角数字で入力してください。

[D] monotonous decrease

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問題文

k0以上の実数, eを自然対数の底とする。数列an
an=n!ennn+k
と定める。任意の自然数nに対して, an+1<anが成り立つような最小のkを求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。

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問題文

ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。(ビーズのような形を想像してください)
この立体の体積が36πのとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。

  1. 円柱の底面の半径
  2. 球の半径
  3. 円柱の深さ

一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。

解答形式

一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。

解答例

1
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二等分

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問題文

中心O, 直径ABとする円のA,B以外の円周上の点Cを取り, BAC=θ (0<θ<90) とする。
このとき, 線分ODが線分ACによって二等分されるような点Dが円周上に取れるようなθの取りうる範囲を求めよ。

解答形式

求めるθの範囲はa<θbとなります。1行目にa, 2行目にbを半角数字で入力してください。

[E] minimum value (hard)

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問題文

a,ba>1,b>1を満たす実数とする。
θ0θ<2πの範囲を動くときf(θ)=a22acosθ+1+b22bsinθ+1の最小値がa2+b2となるような(a,b)の存在範囲をab平面に図示したとき、その領域の面積を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。
半角で入力してください。

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問題文

1円, 5円, 10円, 50円, 100円, 500円の硬貨が1枚ずつある。1回目の試行で6枚の硬貨を投げ、表が出た硬貨をもらうことができる。2回目の試行では、残った硬貨を投げ、やはり表が出た硬貨をもらうことができる。もらえる金額が600円以上になったらこの試行は終了するものとする。

(1) 1回目の試行で終わる確率はいくらか。
(2) 2回目の試行で終わる確率はいくらか。

解答形式

(1)の答えを1行目に、(2)の答えを2行目に既約分数で入れてください。

解答例

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原点Oとするxy平面上で点(3,2)を通る傾き負の直線とx軸,y軸との交点をそれぞれA,Bとするとき、OABの面積の最小値を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。
半角で入力してください。

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(1) 定積分

10xlogx(x+1)2dx

の値を求めよ。

(2) 関数列 fn(x)

fn+1(x)=(xx)fn(x),f1(x)=xx

で定める。定積分

10(xx)(xx)(xx)dx:=10limnfn(x) dx

の値を求めよ。ただしテトレーション xxx は底 xee<x<e1/e のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

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問題文

からなる 2 次元的な植物を考えます。植物は,以下の条件を満たすような枝 s 本と葉 l 枚からなります。


条件

  1. s,l0 以上の整数である。
  2. 枝の両端の点には,枝または葉が 0 個以上つながっている。
  3. すべての枝からたどりつくことができるような,とよばれる点がただひとつ存在する。
  4. 枝がループを作るようにつながっていることはない。

この植物の重さ nn=2s+l で表されます。例えば,重さ 4 の異なる植物をすべて描いたものは下図のようになります。

ここで,ある点に着目したときに,その点から出ている葉と枝の並びが異なるものは区別することに注意しましょう。

重さ n の植物が tn 種類あるとき
n=0tn3nの値を求めなさい。ただし,級数が収束することは証明なしに用いてかまいません。

解答形式

答えは正の有理数 r です。

  • r が整数ならば,r を半角数字で出力してください。
  • r が整数でないならば,互いに素な自然数 a,b を用いて r=ab と表し,a1 行目に,b2 行目にそれぞれ半角数字で出力してください。

EasyNumber.1 サイコロ勝負

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問題文

AさんBさんの二人の人がいる
この時サイコロをAさんが投げる
1.2.3が出たら次回は次の人がサイコロを投げる
4.5が出たら次回も同じ人が投げる
6が出たら勝利である
N回目でAが勝利する確率を求めよ

解答形式

Nについての式を求めよ

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問題文

おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。
しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。
箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。
チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。

解答形式

答えは(ただし既約分数)となります。に入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。