Sandwich＋

問題文

ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます．ピザには表と裏があり，表には具がのっていて，裏にはのっていません．はじめ，すべての皿のピザは表が上になっています．これらのピザに対して，次の操作Xを考えます．

操作X：

1. 隣り合う2枚の皿に着目し，左側の皿に乗っているピザをひっくり返し，右側の皿の一番上に重ねる．ピザが複数枚乗っている場合は，ピザを重ねたまままるごとひっくり返す．
2. 左側の皿を取り除き，皿どうしのすき間を詰める．

この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと，1枚の皿にピザの塔ができます．操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします．ピザの塔を構成するピザを，上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし，$P_i$ が表を上に向けているとき「表」，裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると，ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます．

$N=6$とします．「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

関数 $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ は $C^2$級で、任意の $x>0$ に対して

$$
f(1)=1,\ \ f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x},\ \ \frac{d^2}{dx^2} f(x)\leq 0,\ \ \frac{d^2}{dx^2} \left( \frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)} \right) \leq 0
$$

をすべて満たすとする。このような $f$ に対し

$$
I [f]=\int_{\frac{1}{2}}^{2}f(x)dx
$$

を考える。

（１）$I[f]$ の最大値は $\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$ である。
（２）$I[f]$ の最小値は $\fbox{オ}-\fbox{カ}\log\fbox{キ}$ である。ただし $\log$ は自然対数である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「オカキ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、対数の中身が最小となるように答えよ。

問題文

$N$ を正の整数、$c>0$ を定数とする。実数の組 $(t_1,t_2,\ldots,t_N)$ に対して関数

$$
f_n(t_1,t_2,\ldots,t_N)=t_n(1-t_n)\left(c(1+t_n)-\sum_{i=1}^{N}t_i\right) \ \ \ (n=1,2,\ldots ,N)
$$

を考える。また、$N\times N$ 行列 $J(t_1,t_2,\ldots,t_N)$ を

$$
J(t_1,t_2,\ldots,t_N) =
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial t_N} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_N}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial t_N}
\end{array}\right)
$$

と定義する。

$N=1000,\ \displaystyle{c=\frac{1000}{1.23}}$ として、以下の問いに答えよ。

（１）$1000$個の実数の組 $(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})$ であって、$x_1\leq x_2 \leq \ldots \leq x_{1000} $ かつ

$$
f_n(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})=0\ \ \ (n=1,2,\ldots ,1000)
$$

を満たすものはいくつあるか。

（２）（１）で考えた組のうち、$J(x_1,x_2,\ldots,x_{1000})$ の固有値の実部がすべて負であるようなものはいくつあるか。

解答形式

（１）の答えを半角数字で1行目に入力せよ。
（２）の答えを半角数字で2行目に入力せよ。

問題文

$a>0$ を定数とする。$t\geq0$ で定義された実数値関数 $x(t)$ について、以下の微分方程式の初期値問題を考える:

$$
\begin{cases}
\displaystyle x''(t)=-\frac{x(t)}{(1+\lbrace x(t) \rbrace^2)^2} \ \ \ (t\geq0)\\
\displaystyle x(0)=\frac{\sqrt2}{4}, \ x'(0)=a
\end{cases}
$$

（１）$\displaystyle \lim_{t \to +\infty}x(t)=+\infty$ となる $a$ の範囲は、$\displaystyle a \geq \frac {\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イ}}}{\fbox{ウ}}$ である。
（２）$\displaystyle a = \frac {\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イ}}}{\fbox{ウ}}$ のとき、$\displaystyle x(t)=\frac{3}{4}$ となる $t$ の値は $\displaystyle t = \frac {\fbox{エ}}{\fbox{オカ}}+\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}\log2$ である。ただし $\log$ は自然対数とする。

解答形式

ア〜クには、0から9までの数字が入る。同じ文字の空欄には同じ数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「エオカキク」を半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、根号の中身が最小になるように答えよ。

問題文

$n$を2以上の整数とし, $f(x)=\sqrt[n]{x^n+nx^{n-1}} (x\geq0)$を考える。

$(1)$ $x$を正の整数とするとき, $f(x)$の値が整数でないことを示せ。

$(2)$ $y=f(x)$, $x$軸, $x=m-1$ ($m$は正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。

解答形式

$(2)$ で $m=100$ のときの答えを半角数字で入力してください。

問題文

$k$を$0$以上の実数, $e$を自然対数の底とする。数列$a_n$を
$$a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+k}}$$
と定める。任意の自然数$n$に対して, $a_{n+1} < a_n$が成り立つような最小の$k$を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。

問題文

1円, 5円, 10円, 50円, 100円, 500円の硬貨が1枚ずつある。1回目の試行で6枚の硬貨を投げ、表が出た硬貨をもらうことができる。2回目の試行では、残った硬貨を投げ、やはり表が出た硬貨をもらうことができる。もらえる金額が600円以上になったらこの試行は終了するものとする。

(1) 1回目の試行で終わる確率はいくらか。
(2) 2回目の試行で終わる確率はいくらか。

解答形式

(1)の答えを1行目に、(2)の答えを2行目に既約分数で入れてください。

解答例

1/2
3/10

問題文

原点$O$とする$xy$平面上で点$(3,2)$を通る傾き負の直線と$x$軸,$y$軸との交点をそれぞれ$A,B$とするとき、$\triangle OAB$の面積の最小値を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。
半角で入力してください。

問題文

おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。
しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。
箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。
チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。

解答形式

答えは$\frac{\fboxア}{\fboxイ}$(ただし既約分数)となります。$\fboxア\fboxイ$に入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。

問題文

三角形$ABC$の内部に点$P$があり，$\angle ABP=42^\circ$，$\angle CBP=42^\circ$，$\angle ACP=6^\circ$，$\angle BCP=12^\circ$がそれぞれ成り立っている．このとき，$\angle BAP$の大きさを度数法で表すと，$x^\circ$となる．

$x$に当てはまる数を求めよ．

解答形式

解答のみを，半角数字で答えてください．

問題文

ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。（ビーズのような形を想像してください）
この立体の体積が$36\pi$のとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。

1. 円柱の底面の半径
2. 球の半径
3. 円柱の深さ

一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。

解答形式

一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。

解答例

1
4

問題文

中心$O$, 直径$AB$とする円の$A,B$以外の円周上の点$C$を取り, $\angle BAC=\theta \ (0^\circ<\theta <90^\circ)$ とする。
このとき, 線分$OD$が線分$AC$によって二等分されるような点$D$が円周上に取れるような$\theta$の取りうる範囲を求めよ。

解答形式

求める$\theta$の範囲は$a^\circ<\theta\leq b^\circ$となります。1行目に$a$, 2行目に$b$を半角数字で入力してください。