https://pororocca.com/problem/19/ こちらの問題の設定で,「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.
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ピザが1枚ずつ乗った N(≥2) 枚の皿が横一列に並んでいます.ピザには表と裏があり,表には具がのっていて,裏にはのっていません.はじめ,すべての皿のピザは表が上になっています.これらのピザに対して,次の操作Xを考えます.
操作X:
この操作XをN−1回繰り返すと,1枚の皿にピザの塔ができます.操作Xの N−1 回の繰り返しをピザの調理ということにします.ピザの塔を構成するピザを,上から順にPi(i=1,⋯,N)とし,Pi が表を上に向けているとき「表」,裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると,ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます.
N=6とします.「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.
nを2以上の整数とし, f(x)=n√xn+nxn−1(x≥0)を考える。
(1) xを正の整数とするとき, f(x)の値が整数でないことを示せ。
(2) y=f(x), x軸, x=m−1 (mは正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。
(2) で m=100 のときの答えを半角数字で入力してください。
kを0以上の実数, eを自然対数の底とする。数列anを an=n!ennn+k と定める。任意の自然数nに対して, an+1<anが成り立つような最小のkを求めよ。
整数または既約分数で答えてください。
ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。(ビーズのような形を想像してください) この立体の体積が36πのとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。
一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。
一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。
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中心O, 直径ABとする円のA,B以外の円周上の点Cを取り, ∠BAC=θ (0∘<θ<90∘) とする。 このとき, 線分ODが線分ACによって二等分されるような点Dが円周上に取れるようなθの取りうる範囲を求めよ。
求めるθの範囲はa∘<θ≤b∘となります。1行目にa, 2行目にbを半角数字で入力してください。
a,bをa>1,b>1を満たす実数とする。 θが0≤θ<2πの範囲を動くときf(θ)=√a2−2acosθ+1+√b2−2bsinθ+1の最小値が√a2+b2となるような(a,b)の存在範囲をab平面に図示したとき、その領域の面積を求めよ。
整数または既約分数で答えてください。 半角で入力してください。
1円, 5円, 10円, 50円, 100円, 500円の硬貨が1枚ずつある。1回目の試行で6枚の硬貨を投げ、表が出た硬貨をもらうことができる。2回目の試行では、残った硬貨を投げ、やはり表が出た硬貨をもらうことができる。もらえる金額が600円以上になったらこの試行は終了するものとする。
(1) 1回目の試行で終わる確率はいくらか。 (2) 2回目の試行で終わる確率はいくらか。
(1)の答えを1行目に、(2)の答えを2行目に既約分数で入れてください。
1/2 3/10
原点Oとするxy平面上で点(3,2)を通る傾き負の直線とx軸,y軸との交点をそれぞれA,Bとするとき、△OABの面積の最小値を求めよ。
(1) 定積分
∫10xlogx(x+1)2dx
の値を求めよ。
(2) 関数列 fn(x) を
fn+1(x)=(xx)fn(x),f1(x)=xx
で定める。定積分
∫10(xx)(xx)(xx)⋯dx:=∫10limn→∞fn(x) dx
の値を求めよ。ただしテトレーション xxx⋯ は底 x が e−e<x<e1/e のとき収束することは証明せずに用いて良い。
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。
枝と葉からなる 2 次元的な植物を考えます。植物は,以下の条件を満たすような枝 s 本と葉 l 枚からなります。
条件
この植物の重さ n は n=2s+l で表されます。例えば,重さ 4 の異なる植物をすべて描いたものは下図のようになります。
ここで,ある点に着目したときに,その点から出ている葉と枝の並びが異なるものは区別することに注意しましょう。
重さ n の植物が tn 種類あるとき ∞∑n=0tn3nの値を求めなさい。ただし,級数が収束することは証明なしに用いてかまいません。
答えは正の有理数 r です。
AさんBさんの二人の人がいる この時サイコロをAさんが投げる 1.2.3が出たら次回は次の人がサイコロを投げる 4.5が出たら次回も同じ人が投げる 6が出たら勝利である N回目でAが勝利する確率を求めよ
Nについての式を求めよ
おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。 しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。 箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。 チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。
答えはアイ(ただし既約分数)となります。アイに入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。