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Leafy Trees

halphy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 大学数学
2020年6月8日13:17 正解数: 1 / 解答数: 1 (正答率: 100%) ギブアップ不可
組合せ 数列 級数

問題文

からなる $2$ 次元的な植物を考えます。植物は,以下の条件を満たすような枝 $s$ 本と葉 $l$ 枚からなります。


条件

  1. $s, l$ は $0$ 以上の整数である。
  2. 枝の両端の点には,枝または葉が $0$ 個以上つながっている。
  3. すべての枝からたどりつくことができるような,とよばれる点がただひとつ存在する。
  4. 枝がループを作るようにつながっていることはない。

この植物の重さ $n$ は $n=2s+l$ で表されます。例えば,重さ $4$ の異なる植物をすべて描いたものは下図のようになります。

ここで,ある点に着目したときに,その点から出ている葉と枝の並びが異なるものは区別することに注意しましょう。

重さ $n$ の植物が $t_n$ 種類あるとき
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t_n}{3^n}
\end{equation}の値を求めなさい。ただし,級数が収束することは証明なしに用いてかまいません。

解答形式

答えは正の有理数 $r$ です。

  • $r$ が整数ならば,$r$ を半角数字で出力してください。
  • $r$ が整数でないならば,互いに素な自然数 $a, b$ を用いて $r=\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と表し,$a$ を $1$ 行目に,$b$ を $2$ 行目にそれぞれ半角数字で出力してください。

ヒント1

数列 $\{t_n\}$ は,漸化式
\begin{equation}
t_n=t_{n-1}+\sum_{k=0}^{n-2}t_{k}t_{n-2-k}\quad (n\geq 2)
\end{equation}を満たします。

ヒント2

\begin{equation}
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}t_nx^n
\end{equation}とおくと,$f(x)$ はどんな関係式を満たすでしょうか?


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解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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$$
a\neq b
$$ $$
(a+b)(a-b)+(ad-bc)=0
$$ $$
bc-a^2=1
$$
を満たしています.このとき
$$
\frac{c-d}{a-b}
$$
の取り得る値を全て求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.複数ある場合は小さい順に一行ずつ入力してください.
Ex:答えが「1」と「-$\frac{3}{89}$」と「100」のとき
-3/89
1
100
と解答してください.

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$$
\fbox{アイ}+\frac{\fbox{ウエ}\sqrt{\fbox{オカ}}}{\fbox{キ}}
$$
となります。$\fbox ア~\fbox キ$には0以上9以下の整数が入ります。文字列「アイウエオカキ」を解答してください(「」は不要)。ただし、根号の中身や分数は最も簡単な形にしてください。

例$$
面積S=17+\frac{22\sqrt{52}}{8}\rightarrow 17+\frac{11\sqrt{13}}{2}\rightarrow 1711132 と解答
$$

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このとき、
$$S_i=\sin\frac{\theta}{\fbox{ア}^i}-\frac{1}{2} \sin\frac{\theta}{\fbox{イ}^{i-1}}$$となるので、
$$\sum_{i=1}^n2^{i-1}S_i=\frac{1}{2}\left(\fbox{ウ}^n\sin\frac{\theta}{\fbox{エ}^n}-\sin\theta\right)$$となる。ここで$n\to\infty$とすると
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$$
\frac{r}{r'}\cos{\frac A2}\cos{\frac B2}\cos{\frac C2}
$$

解答形式

$$
\frac{r}{r'}\cos{\frac A2}\cos{\frac B2}\cos{\frac C2}\geq\frac{[ア]\sqrt{[イ]}}{[ウ]}=(最小値)
$$
となります。$[ア]+[イ]+[ウ]$を半角数字で解答してください。
ただし、$[ア],[イ],[ウ]$には自然数が入ります。また、分数部分は既約分数に、根号内の数字は最小となるようにしてください。

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解答形式

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